备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题21 三角形中的最值问题答案解析文档格式.docx

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考点：

三角变换基本不等式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．

【点评】正弦定理和余弦定理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的外接圆的半径及条件为背景精心设置了一道求三角形面积最大值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用正弦定理求出,再借助余弦定理和基本不等式求得.从而求得,进而使得问题获解.

【变式演练1】已知外接圆的半径为，若面积且，则，的最大值为

【答案】，.

1．正弦定理；

2．解斜三角形．

【变式演练2】在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值，并判断当最大时的形状．

（1）；

（2），等边三角形．

试题分析：

（1）利用正弦定理化和三角形内角和定理简，得，故；

（2）由余弦定理和基本不等式，有，，，当且仅当时等号成立，故为等边三角形．

试题解析：

（2）由题知，

，，∴．∵由余弦定理可知：

，

，∴．当且仅当“”时等号成立，

∴最大值是，此时三角形为等边三角形．

解三角形．

【变式演练3】在中，角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

（2）.

（1）根据余弦定理，正弦定理，和，将已知化为解得；

（2）因为，所以，由余弦定理得，所以，再结合三角形面积公式求得最大值为.

类型二求三角形中边或角的取值范围

三角形中

第一步通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；

第二步利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；

例3已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】A

由题意得，在中，由正弦定理可得，又因为，所以

，又因为锐角三角形，所以且

，所以，所以，所以的取值范围是，故选A．

正弦定理及三角形的性质．

【点评】①本题易错在求的范围上，容易忽视“是锐角三角形”这个条件；

②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.解三角形问题的本质就是实现边角的转化，本题给的是角条件，求的是边之比的范围，思路很清晰，借助正弦定理把边转到角上，问题就转化为三角函数的最值问题，而定义域即角的范围就成了关键，锐角三角形就是保证三个角均为锐角，利用好内角和定理及，建立的不等关系即可．

例4在△中，若，点，分别是，的中点，则的取值范围为．

设，结合，由可得.

故答案为.

1、余弦定理的应用；

2、正弦定理及求范围问题.

【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题，属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；

②换元法；

③不等式法；

④图象法；

⑤函数单调性法：

将问题转化为关于某一参变量的函数后，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域；

本题就是先将表示为关于的函数，再根据方法⑤解答的.

【变式演练4】在钝角中，已知，则最大边的取值范围是.

【答案】

因为是钝角三角形的最大边,所以是最大角.即,或（舍）,又,,故应填.

余弦定理.

【变式演练5】各角的对应边分别为，满足，则角的范围是______.

【变式演练6】在△中，角，，所对的边分别为，，，已知（），且．

（1）当，时，求，的值；

（2）若角为锐角，求的取值范围．

（1）或；

（1）由题设并利用正弦定理，得解得或；

（2）由

（1）可知，根据余弦定理有，因为，所以，.

（1）由题设并利用正弦定理，得解得或

解三角形.

【变式演练7】在中,角、、所对的边分别为、、,且满足.

（2）求的周长的最大值.

（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角的大小；

（2）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出的范围即可求的周长的最大值.

（1）依题意,,由正弦定理得,,

.

（2）

（当且仅当时取等号）,的周长最大值为.

（1）正弦定理；

（2）余弦定理.

【高考再现】

1.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是▲.

【答案】8.

三角恒等变换，切的性质应用

【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识

2．【2016年高考北京理数】

（本小题13分）

在ABC中，.

（1）求的大小；

（2）求的最大值.

1.三角恒等变形；

2.余弦定理.

【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆半径和面积等）提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：

化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．

3.【2016高考山东理数】

（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）

试题分析：

（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；

（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.

由知,

所以，

当且仅当时，等号成立.

故的最小值为.

1.和差倍半的三角函数；

2.正弦定理、余弦定理；

3.基本不等式.

【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；

三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.

4.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°

，BC=2，则AB的取值范围是.

（，）

【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°

，∠E=30°

，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，

【考点定位】正余弦定理；

数形结合思想

【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.

5.【2015高考山东，理16】设.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.

（I）单调递增区间是；

单调递减区间是

（II）面积的最大值为

（I）由题意知

【考点定位】1、诱导公式；

2、三角函数的二倍角公式；

3、余弦定理；

4、基本不等式.

【名师点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.

6.【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.

（1）证明：

；

（2）求的取值范围.

（1）详见解析；

【考点定位】1.正弦定理；

2.三角恒等变形；

3.三角函数的性质.

【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.

【反馈练习】

1．【2017届湖北襄阳市四校高三上学期期中联考数学试卷，理8】在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为（）

A．4B．

C．D．2

【答案】C

1、余弦定理；

2、基本不等式．

2．【2017届山西康杰中学高三10月月考数学试卷，文19】已知顶点在单位圆上的△，角，，所对的边分别是，，，且．

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围．

（2）．

（1）由正弦定理可得：

；

（2）由，由，．

（1）因为，

由正弦得，，

所以．

因为，且，所以．

（2）由，得，

由，得，，

因为，所以，即，

1、解三角形；

2、三角恒等变换．

3．【2017届湖北黄冈市高三9月质检数学试卷，文18】中，角所对的边分别为，且．

（1）

（2），可得，

由余弦定理可得，即有，

当且仅当，取得等号．∴的面积为，即有时，的面积取得最大值．

1、三角恒等变换；

2、余弦定理；

3、正弦定理．

【易错点睛】本题主要考查了三角恒等变换、余弦定理和正弦定理的综合应用，考查学生综合运用知识的能力，属中档题．其解题过程中容易出现以下错误：

其一是不能正确地运用倍角公式和三角形的内角和为对其进行化简，进而导致出现错误；

其二是不能正确地运用基本不等式对其进行放缩，进而导致出现错误．其解题的关键是综合知识的灵活运用．

4.【2016届浙江镇海中学高三5月模拟数学试卷，文18】在中，．

（1）求三边的平方和；

（2）当的面积最大时，求的值．

（1）借助题设条件运用余弦定理求解；

（2）借助题设与基本不等式探求．

试