高考数学题分类汇编立体几何.doc

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2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编

第8部分:

立体几何

一、选择题:

1．（2010年高考山东卷理科3）在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

【答案】D

【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。

【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。

2．（2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为

ABCD

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

O

2.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,

则,.

所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.

3．（2010年高考全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

（A）（B）（C）（D）

3.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.

4．（2010年高考福建卷理科6）如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（）

A.∥B.四边形是矩形C.是棱柱D.是棱台

【答案】D

【解析】因为∥，∥，所以∥，又平面，

所以∥平面，又平面，平面平面=，

所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，

∥，所以平面，又平面，故，所以选项B也正确，故选D。

【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。

5．（2010年高考安徽卷理科8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为

A、280 B、292 C、360 D、372

8.C

【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

.

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

6．（2010年高考广东卷理科6）如图1，△ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是

【答案】D

7．（2010年高考四川卷理科11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，

是平面内边长为的正三角形，线段、分别

与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

（A）（B）w_w_w.k*s5*u.co*m

（C）（D）

解析：

由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝w_w_w.k*s5*u.co*m

cos∠BAC＝

连结OM，则△OAM为等腰三角形

AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CDw_w_w.k*s5*u.co*m

而AC＝R,CD＝R

故MN：

CD＝AN:

ACw_w_w.k*s5*u.co*m

ÞMN＝，

连结OM、ON，有OM＝ON＝R

于是cos∠MON＝

所以M、N两点间的球面距离是w_w_w.k*s5*u.co*m

答案：

A

8.（2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

（A） （B） （C） （D）

【答案】B

解析：

如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知

，所以球的半径满足：

，故．

9．（2010年高考陕西卷理科7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【】

1

主视图

左视图

俯视图

（第7小题图）

【答案】C

【解析】由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱（如下图所示），其高为，底面满足：

.

故该几何体的体积为.故选.

B

A

C

10．（2010年高考北京卷理科3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为

【答案】C

解析：

很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。

11．（2010年高考北京卷理科8）如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关

　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关

　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关

　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

【答案】D

解析：

这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。

12．（2010年高考江西卷理科10）过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作

A．1条B．2条C．3条D．4条

【答案】D

13．（2010年高考浙江卷6）设m,l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是

【答案】B

14．（2010年高考全国2卷理数9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

（A）1（B）（C）2（D）3

15．（2010年高考全国2卷理数11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

16.（2010年高考重庆市理科10）到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

（A）直线 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线

【答案】D

解析：

排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B

17.14．（2010年高考辽宁卷理科12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

（A）（0,）（B）（1,）

（C）（,）（D）（0,）

【答案】A

二、填空题：

1．（2010年高考福建卷理科12）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于.

【答案】

【解析】由正视图知：

三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为

，侧面积为，所以其表面积为。

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。

2.（2010年高考天津卷理科12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。

【答案】

【解析】由三视图知：

该几何体是一个底面边长为1、高为2的正四棱柱与一个底面边长为2、高为1的正四棱锥组成的组合体.因为正四棱柱的体积为2,正四棱锥的体积为,故该几何体的体积为.

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图以及棱柱与棱锥体积的求解,考查空间想象能力、识图能力。

3.（2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．

【答案】4

【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.

4．（2010年高考四川卷理科15）如图，二面角的大小是60°，线段.，

与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.

解析：

过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D

连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

C

D

故∠ADC为二面角的平面角，为60°

又由已知，∠ABD＝30°

连结CB，则∠ABC为与平面所成的角w_w_w.k*s5*u.co*m

设AD＝2，则AC＝，CD＝1

AB＝＝4

∴sin∠ABC＝

答案：

5.（2010年全国高考宁夏卷14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）

【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等．

6．（2010年高考江西卷理科16）如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，

且，分别经过三条棱，，作一个截面平

分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的

大小关系为．

【答案】

7．（2010年高考浙江卷12）若某几何体的正视图（单位：

cm）如图所示，

则此几何体的体积是_______cm3.

【答案】144

8．（2010年高考辽宁卷理科15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

【答案】

9．（2010年高考全国2卷理数16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离．

【答案】3

【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.

【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，

10．（2010年高考上海市理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为。

【答案】

11．（2010年上海市春季高考10）各棱长都为1的正四棱锥的体积。

答案：

解析：

由题知斜高，则，故。

12．（2010年上海市春季高考13）

答案：

解析：

将侧面展开可得。

三、解答题：

1．（2010年高考山东卷理科19）（本小题满分12分）

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

（Ⅰ）求证：

平面PCD⊥平面PAC；

（