届普通高等学校招生全国统一考试模拟测卷五全国Ⅲ卷数学文试题解析Word格式文档下载.docx
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A．
本题考查复数的除法和加法运算，属于基础题．
3．若双曲线的离心率为，则（）
A．B．C．2D．3
首先求出，再根据离心率即可求解.
由
所以，解得．
本题考查了双曲线的简单几何性质，需熟记双曲线离心率的计算式子，属于基础题.
4．设等差数列的前项和为，已知，，则等于（）
A．50B．56C．60D．64
D
用首项和公差表示出已知条件并解出，再由等差数列前项和公式计算．
设的公差为，则，，所以，，.
D．
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的基本量运算，属于基础题．
5．若函数是奇函数，定义域为，，则的值是（）
根据奇函数定义求解．
由题意，，.
本题考查奇函数的定义，掌握奇函数概念是解题基础．
6．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．12D．
由三视图还原出原几何体，再根据体积公式计算．
由三视图知原几何体是下面一个直四棱柱，
上面一个四棱锥的组合体，尺寸见三视图，
体积为．
本题考查三视图，考查棱柱棱锥的体积公式，解题关键是由三视图还原出原几何体．
7．已知，，点在圆上，则的面积的最大值是（）
A．B．1C．D．2
求出的长度，求出直线方程，再求得圆心到直线的距离，此距离加上圆半径即得圆上的点到直线距离的最大值，从而可得的面积的最大值．
，直线方程为，
原点到直线距离为，圆半径为，
圆上的点到直线距离的最大值为，
∴的面积的最大值是.
本题考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归思想．求三角形面积最大值，实质上就是求圆上的点到直线距离的最大值，而这又转化为求圆心到直线的距离．
8．函数的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
首先确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后函数值与比较大小后可得正确选项．
记，则，是偶函数，排除BC，
又，∴，因此排除D，
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性，研究特殊的函数值，函数值的大小、正负，变化趋势等等，结合排除法得出正确选项．
9．函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（）
利用三角函数的平移变换原则：
相对于“左加右减”即可求解.
．
本题考查了三角函数的变换原则，注意左右平移是相对于平移，属于基础题.
10．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是（）
根据程序框图，得出程序的数学功能，由数列的裂项相消法求得数列和，从而得出结论．
由题意.
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定程序功能，结合其它数学知识得出结论．
11．在平行四边形中，，，，点在上，，则（）
C．1D．2
B
选取为基底，把其它向量用基底表示后计算数量积即可．
，，，，，
B．
本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取为基底，用基底表示其它向量．
12．一个圆锥母线长为，侧面积为，则这个圆锥的外接球体积为（）
由圆锥侧面积求得圆锥底面半径，从而得圆锥的高，由圆锥的轴截面是其外接球大圆的内接三角形可求得球半径，可得求体积．
设圆锥底面半径为，则，，圆锥高为，∴圆锥的轴截面是等腰直角三角形，直角三角形的斜边就是其外接圆直径，∴球半径为，.
本题考查圆锥的性质，考查球的体积，解题关键是掌握性质，圆锥的轴截面是其外接球大圆的内接三角形．
二、填空题
13．______．
利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求解.
故答案为：
本题考查了诱导公式、两角差的正弦公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.
14．已知变量，满足约束条件，则的最大值为______.
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，
向上平移直线，当过点时，取得最大值，
由，解得，即，
取得最大值．
本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．
15．若函数有两个零点，则实数的取值范围是______．
利用等价转化，函数的零点转化为方程的根，进一步转化为与的图象的交点，数形结合即可求解.
由题意知函数有两个零点，
即方程有两个根，
即有两个根，
即与的图象有两个交点，
作出与的图象，如图：
所以，，或．
本题考查了根据函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是作出函数图像，考查了转化与化归的思想、数形结合的思想，属于中档题.
16．设等差数列中，，，数列的前项和为，则满足的最小的值为______.
8
先求出，再用错位相减法求出和，然后解不等式可得．
由题意，，
相减得，
∴，是递增的，，.
∴满足的最小值．
8．
本题考查等差数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，在数列求和中要注意一些特殊的求和方法：
错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．
三、解答题
17．在中，内角，，的对边分别为，，，若.
（1）求的值；
（2）若的面积为，，求.
（1）；
（2）7.
（1）用正弦定理化边为角后可求得角；
（2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可得．
（1）由正弦定理及得，
所以在中，.
（2）由的面积为知，所以，
又，
由余弦定理得，.
本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式，在三角形中已知边角关系时常常用正弦定理进行边角间的转换．
18．已知口袋里装有4个大小相同的小球，其中两个标有数字1，两个标有数字2．
（1）从口袋里任意取一球，求取到标有数字2的球的概率；
（2）第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？
说明理由．
（2）数字和为3时概率最大，理由详见解析．
（1）利用古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）设标号为1的球为，，标号为2的球为，，采用列举法求出所有基本事件个数，然后分别求出数字和为2、3、4的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式求出各自的概率即可求解.
（1）4个球中标有数字2的球有2个，故所求概率为，
（2）设标号为1的球为，，标号为2的球为，．
所有基本事件包括：
，，，，，，
，，，，共16种．
设事件表示数字和为2，
包括：
，，，，共4种，
故有．
设事件表示数字和为3，
，，，共8种，．
设事件表示数字和为4，
故．
数字和为3时概率最大．
本题考查了古典概型的概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.
19．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，分别是棱，的中点．
（1）求证：
平面；
（2）若，求平面将三棱锥分成的两部分的体积中较大部分的体积．
（1）详见解析；
（2）．
（1）连接，交于点，连接，，证出，从而可得平面，再证出平面，利用面面平行的判定定理可得平面平面，由面面平行的性质定理即可证出.
（2）连接交于点，可得，进而可得，求出三棱锥的体积以及三棱锥的体积，二者体积作差即可求解.
（1）连接，交于点，连接，．
因为，分别是棱，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
同理，平面．
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）连接交于点，则，
平面，，是中点，
到平面的距离为，
三棱锥的体积为，
又三棱锥的体积为，
即，较大部分的体积为．
本题考查了面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以及三棱锥的体积公式，考查了学生的推理能力，属于基础题.
20．已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
（1）单调减区间为，单调增区间为；
（1）将代入表达式，求出，令，解不等式即可求解.
（2）根据题意不等式转化为恒成立，令，利用导数求出在上为增函数，即，从而可得.
（1）函数的定义域为，
当时，，
则，
由得，由得．
的单调减区间为，单调增区间为．
（2）对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立．
令，，
再令，，
则．
在上为减函数，
从而，在上为增函数，
的取值范围为．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题，考查了分离参数法，属于难题.
21．已知椭圆：
的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，在直线上存在点，使三角形为正三角形，求的最大值.
（2）.
（1）由离心率得，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合可解得，得椭圆方程；
（2）设直线方程为，与联立方程组，消去，设，，由韦达定理得.设线段的中点为，得直线方程，求出点坐标（此结论对也适用），是等边三角形等价于，由此可把用表示，设换元后，可利用基本不等式求得最值．
（1）设，则，，所以，，
由点在椭圆上得，
，，所以椭圆的方程为.
（2）显然，直线的斜率存在，设其方程为，
与联立方程组，消去，并化简得.
设，，则，.
设线段的中点为，则直线：
，令，
又，得点的坐标为，显然当时也符合，
所以.
又因为，
由三角形为正三角形得，
所以两边平方可得
，得.
令，则，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的最大值为.
本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系．直线与椭圆相交问题常常采用设而不求思想，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，然后把和整体代入其他条件求解，如弦长为，这样建立了参数间的关系．本题对学生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力，转化与化归思想的掌握要求较高，属于难题．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点
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