线性代数 第五章Word下载.docx
《线性代数 第五章Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数 第五章Word下载.docx(48页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
3=-11;
(2)[x,y]=(-2)·
3+1·
(-6)+0·
8+3·
4=0.
若x、y、z为n维实向量,λ为实数,则下列性质从内积的定义可立刻推得.
(i)[x,y]=[y,x],
(ii)[λx,y]=λ[x,y],
(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].
同三维向量空间一样,可用内积定义n维向量的长度和夹角.
定义2称
为向量x的长度(或范数),当‖x‖=1时称x为单位向量.
从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质:
(i)非负性:
当x≠0时,‖x‖>0,当x=0时‖x‖=0.
(ii)齐次性:
‖λx‖=|λ|‖x‖.
(iii)三角不等式:
‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.
(iv)柯西-许瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式:
[x,y]2≤‖x‖2‖y‖2.
由柯西-许瓦茨不等式可得
≤1(‖x‖·
‖y‖≠0).
于是我们定义,当‖x‖≠0,‖y‖≠0时,称
为x与y的夹角.当[x,y]=0时,称x与y正交.
显然,n维零向量与任意n维向量正交.
称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.
定理1若n维非零向量
为正交向量组,则它们为线性无关向量组.
证设有
使
,分别用
与上式两端作内积(k=1,2,…,r),即得
因
,故
,从而
,于是
线性无关.
在研究向量空间的问题时,常采用正交向量组作为向量空间的一组基,以便使问题得到简化,那么n维向量空间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?
定理2若
是正交向量组,且r<n,则必存在n维非零向量x,使
,x也为正交向量组.
证x应满足
,即
记
则
,故齐次线性方程组Ax=0必有非零解,此非零解即为所求.
推论
个(
)两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.
例2已知
=(1,1,1)′,
=(1,-2,1)′正交,试求一个非零向量
,使
两两正交.
解解方程组
得基础解系为
,取
=
,则
即为所求.
定义3设n维向量
是向量空间
的一个基,如果
两两正交,且都是单位向量,则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).
若
是V的一个正交规范基,则V中任一向量
可由
惟一线性表示,设为
则由
得
惟一确定,i=1,2,…,r.
下面介绍将向量空间
的任一基
转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法,其具体步骤如下:
取
容易验证
两两正交,非零.然后将它们单位化,即令
就是V的一个正交规范基.
例3已知
=(1,-1,0)′、
=(1,0,1)′,
=(1,-1,1)′是R3的一个基,试用施密特正交化方法,构造R3的一个正交规范基.
解取
再将
单位化,即得R3的一个正交规范基
定义4如果n阶方阵满足A′A=E(即A-1=A′),就称A为正交矩阵.
用A的列向量表示,即是
亦即
由此得到n2个关系式
这说明,方阵A为正交矩阵的充分必要条件是:
A的列向量组构成Rn的正交规范基,注意到A′A=E=AA′,所以上述结论对A的行向量组也成立.
例4验证矩阵
是正交矩阵.
解A的每个列向量都是单位向量且两两正交,故A是正交矩阵.
由正交矩阵定义,不难得到下列性质.
(i)若A是正交矩阵,则|A|2=1.
(ii)若A是正交矩阵,则A′,A-1也是正交矩阵.
(iii)若A,B是n阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵.
定义5若T是正交矩阵,则线性变换y=Tx称为正交变换.
设y=Tx是正交变换,则有
这表明,经正交变换向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合,例如
为正交矩阵,正交变换y=Tx相当于旋转θ角,再关于纵轴对称反射.
2方阵的特征值和特征向量
工程技术中振动问题和稳定性,往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题,特征值、特征向量的概念,不仅在理论上很重要,而且可以直接用来解决实际问题.
定义6设A为n阶方阵,若存在数λ和非零n维向量x,使得
Ax=λx,(5.1)
则称λ为矩阵A的特征值,称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.
(5.1)式也可写成
(A-λE)x=0.(5.2)
(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
|A-λE|=0.(5.3)
(5.3)式的左端为λ的n次多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.记f(λ)=|A-λE|,称为A的特征多项式,则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程,特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此n阶方阵A有n个特征值.
设λ=λi为其中的一个特征值,则由方程
(A-λiE)x=0
可求得非零解x=pi,那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量(若λi为实数,则pi可取实向量,若λi为复数,则pi为复向量.)
例5求
的特征值和特征向量.
解A的特征方程为
所以A的特征值为
当
时,由
可得x1=x2,所以对应的特征向量可取为
;
当λ2=4时,由
即
解得x1=-x2,所以对应的特征向量可取为
显然,若pi是对应于特征值λi的特征向量,则kpi(k≠0)也是对应于λi的特征向量,所以特征向量不能由特征值惟一确定,反之,不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等,也即一个特征向量只能属于一个特征值.
例6求矩阵
解A的特征多项式为
所以A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=1.
当λ1=2时,则方程(A-2E)x=0,由
得基础解系
所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征向量.
当λ2=λ3=1时,解方程(A-E)x=0,由
所以kp2(k≠0)是对应于λ2=λ3=1的全部特征向量.
从上述例子可以归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤.
第一步:
计算特征多项式|A-λE|.
第二步:
求出|A-λE|=0的全部根,它们就是A的全部特征值.
第三步:
对于A的每一个特征值λi,求相应的齐次线性方程组(A-λiE)x=0的一个基础解系
则对于不全为零的任意常数
即为对应于λi的全部特征向量.
例7求矩阵
所以A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.
当λ1=λ2=1时,解方程(A-E)x=0,由
于是
为对应于λ1=λ2=1的全部特征向量.
当λ3=-2时,解方程(A+2E)x=0,由
所以k3p3(k3≠0)为对应于λ3=-2的全部特征向量.
例8设λ是方阵A的特征值,证明λ2是A2的特征值.
证因λ是A的特征值,故有p≠0,使Ap=λp,
A2p=A(Ap)=λAp=λ2p.
所以λ2是A2的特征值.
按此例类推,不难证明:
若λ是A的特征值,则λk是Ak的特征值;
是
的特征值(其中
).
例9设向量
=(1,2,0)′,
=(1,0,1)′都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量,又向量
=(-1,2,-2)′,求
解由题设条件有
又
故
定理3设λ1,λ2,…,λm是方阵A的m个互不相同的特征值,p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量,则p1,p2,…,pm线性无关.
证设有常数x1,x2,…,xm,使
x1p1+x2p2+…+xmpm=0,
A(x1p1+x2p2+…+xmpm)=0,
类推有
把上列各式合写成矩阵形式,得
(x1p1,x2p2,…,xmpm)
=O.
上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当λi各不相同时,该矩阵可逆,于是有
(x1p1,x2p2,…,xmpm)=O,
即xipi=0,但pi≠0,故xi=0,i=1,2,…,m.
所以向量组p1,p2,…,pm线性无关.
3相似矩阵
定义7设A与B是n阶方阵,如果存在一个可逆矩阵P,使
B=P-1AP,
则称A与B是相似的.
定理4若n阶方阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同.
证因A与B相似,即有可逆矩阵P,使P-1AP=B,故
|B-λE|=|P-1AP-P-1(λE)P|=|P-1(A-λE)P|
=|P-1||A-λE||P|=|A-λE|.
推论若n阶方阵A与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn)相似,则λ1,λ2,…,λn即是A的特征值.
证因λ1,λ2,…,λn是diag(λ1,λ2,…,λn)的n个特征值.由定理4知λ1,λ2,…,λn也就是A的特征值.
关于相似矩阵我们关心的一个问题是,与A相似的矩阵中,最简单的形式是什么?
由于对角矩阵最简单,于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?
下面我们就来研究这个问题.
如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵,则称A可对角化.
现设已找到可逆矩阵P,使P-1AP=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).把P用其列向量表示为P=(λ1,λ2,…,λn),由P-1AP=Λ,得AP=PΛ,即
A(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn)diag(λ1,λ2,…,λn)
=(λ1p1,λ2p2,…,λnpn).
于是有
Api=λipi(i=1,2,…,n).
可见P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量.又因P可逆,所以p1,p2,…,pn线性无关.由于上述推导过程可以反推回去.因此,关于矩阵A的对角化有如下结论:
定理5n阶方阵A可对角化的充分必要条件是:
A有n个线性无关的特征向量p1,p2,…,pn,并且以它们为列向量组的矩阵P,能使P-1AP为对角矩阵.而且此对角矩阵的主对角线元素依次是与p1,p2,…,pn对应的A的特征值λ1,λ2,…,λn.
现在的问题是:
对于任一矩阵A,是否一定存在n个线性无关的特征向量,答案是否定的,在上节例7中A的特征方程有重根.但仍能找到3个线性无关的特征向量,但在例6中A的特征方程亦有重根,却找不到3个线性无关的特征向量.从而例6中矩阵A不能与对角矩阵相似.
例10设A=
的一个特征向量为p=
(1)求参数a,b的值及A的与特征向量p对应的特征值;
(2)A与对角阵是否相似?
解
(1)设A的与特征向量p相对应的特征值为λ,可得方程组(A-λE)p=0,即
解得
(2)由
知A有三重特征值
1=
2=
3=-1.
由于
可知
R(A+E)=2,n-R(A+E)=3-2=1,
故三阶方阵A与
=-1对应的线性无关的特征向量仅有一个.所以A不与对角阵相似.
在矩阵中有一类特殊矩阵,即实对称矩阵是一定可以对角化的,并且对于实对称矩阵A不