浙江专版高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教学案030517文档格式.docx

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y＝Atan（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；

对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝（k∈Z）解得，无对称轴.

提炼3三角变换常用技巧

（1）常值代换：

特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°

等．

（2）项的分拆与角的配凑：

如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等．

（3）降次与升次：

正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．

（4）弦、切互化：

一般是切化弦.

提炼4三角函数最值问题

（1）y＝asinx＋bcosx＋c型函数的最值：

可将y转化为y＝sin（x＋φ）＋c其中tanφ＝的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝sin（x＋φ）＋c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．

（2）y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型函数的最值：

可利用降幂公式sin2x＝，sinxcosx＝，cos2x＝，将y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x转化整理为y＝Asin2x＋Bcos2x＋C，这样就可将其转化为

（1）的类型来求最值．

[高考真题回访]

回访1　三角函数的图象问题

1．（2016·

浙江高考）函数y＝sinx2的图象是（　　）

D　[∵y＝sin（－x）2＝sinx2，

∴函数为偶函数，可排除A项和C项；

当x＝时，sinx2＝sin≠1，排除B项，故选D.]

2．（2014·

浙江高考）为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象（　　）

A．向右平移个单位

B．向左平移个单位

C．向右平移个单位

D．向左平移个单位

C　[因为y＝sin3x＋cos3x＝sin

＝sin，又y＝cos3x

＝sin＝sin，

所以应由y＝cos3x的图象向右平移个单位得到．]

3．（2013·

浙江高考）函数f（x）＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是

（　　）【导学号：

68334026】

A．π，1　　B．π，2

C．2π，1D．2π，2

A　[f（x）＝sin2x＋cos2x＝sin，所以最小正周期为T＝＝π，振幅A＝1.]

回访2　三角函数的性质问题

4．（2016·

浙江高考）设函数f（x）＝sin2x＋bsinx＋c，则f（x）的最小正周期（　　）

A．与b有关，且与c有关

B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关

D．与b无关，但与c有关

B　[当b＝0时，f（x）＝sin2x＋c＝＋c＝－cos2x，其最小正周期为π.

当b≠0时，φ（x）＝sin2x＋c的最小正周期为π，g（x）＝bsinx的最小正周期为2π，所以f（x）＝φ（x）＋g（x）的最小正周期为2π.

综上可知，f（x）＝sin2x＋bsinx＋c的最小正周期与b有关，但与c无关．]

5．（2015·

浙江高考）函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，最小值是________．

【导学号：

68334027】

π　　[f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1

＝＋sin2x＋1＝＋sin.

故最小正周期T＝＝π.当sin＝－1时，f（x）取得最小值为－＝.]

6．（2017·

浙江高考）已知函数f（x）＝sin2x－cos2x－2sinxcosx（x∈R）．

（1）求f的值；

（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

[解]　

（1）由sin＝，cos＝－，

得f＝2－2－2×

×

，

得f＝2.6分

（2）由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得

f（x）＝－cos2x－sin2x＝－2sin，

所以f（x）的最小正周期是π.8分

由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，12分

所以f（x）的单调递增区间是

（k∈Z）.14分

回访3　三角恒等变换

7．（2016·

浙江高考）已知2cos2x＋sin2x＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>

0），则A＝________，b＝________.

　1　[∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1＝Asin（ωx＋φ）＋b，∴A＝，b＝1.]

8．（2013·

浙江高考）已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝（　　）

【导学号：

68334028】

A.　　　　B.

C．－　　　　D．－

C　[把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sinαcosα＝，

所以＝，所以＝，即3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－，所以tan2α＝＝－.]

（对应学生用书第9页）

热点题型1　三角函数的图象问题

题型分析：

高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：

一是考查三角函数解析式的求法；

二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低.

【例1】　

（1）将函数y＝cosx＋sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）

A.　　　　B.　　　　

C.　　　　D.

（2）（2017·

绍兴市方向性仿真考试）函数y＝sinx（0＜x＜π）的图象大致是

（　　）

（1）A　

（2）B　[

（1）设f（x）＝cosx＋sinx＝2＝2sin，向左平移m个单位长度得g（x）＝2sin.∵g（x）的图象关于y轴对称，∴g（x）为偶函数，∴＋m＝＋kπ（k∈Z），∴m＝＋kπ（k∈Z），又m＞0，∴m的最小值为.

（2）法一：

因为0＜x＜π，所以0＜sinx≤1，所以y＝sinx＝|cosx|≥0，排除A，C，D，故选B.

法二：

当x＝时，y＝，排除C，D；

当x＝时，y＝，排除A，故选B.]

[方法指津]

1．函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式的确定

（1）A由最值确定，A＝；

（2）ω由周期确定；

（3）φ由图象上的特殊点确定．

提醒：

根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．

2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

[变式训练1]　

（1）为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（　　）【导学号：

68334029】

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

（2）（2016·

金华十校调研）函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图11所示，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）的值为（　　）

图11

A．0　　　B．2＋　　　

C．2　　　D．2－

（1）B　

（2）B　[

（1）∵y＝cos2x＝sin，∴y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象．故选B.

（2）由题图可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，

∴f（x）＝2sinx.

∴f

（1）＝，f

（2）＝2，f（3）＝，f（4）＝0，f（5）＝－，f（6）＝－2，f（7）＝－，f（8）＝0，

而2018＝8×

252＋2，

∴f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2018）＝2＋.]

热点题型2　三角函数的性质问题

三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.

【例2】　已知函数f（x）＝4tanx·

sin·

cos－.

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间上的单调性．

[解]　

（1）f（x）的定义域为.1分

f（x）＝4tanxcosxcos－

＝4sinxcos－

＝4sinx－

＝2sinxcosx＋2sin2x－

＝sin2x＋（1－cos2x）－

＝sin2x－cos2x＝2sin.4分

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.6分

（2）令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.8分

设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.

12分

所以当x∈时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减.14分

研究函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质的“两种”意识

1．转化意识：

利用三角恒等变换把待求函数化成y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式．

2．整体意识：

类比于研究y＝sinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”代入求解便可．

[变式训练2]　

（1）（名师押题）已知函数f（x）＝2sin，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（　　）

A．在上是增函数

B．其图象关于直线x＝－对称

C．函数g（x）是奇函数

D．当x∈时，函数g（x）的值域是[－2,1]

（2）已知函数f（x）＝－2sin（2x＋φ）（|φ|＜π），若是f（x）的一个单调递增区间，则φ的取值范围为（　　）【导学号：

68334030】

A.

B.

C.

D.∪

（1）D　

（2）C　[

（1）因为f（x）＝2sin，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）＝f＝2sin＝2sin＝2cos2x.

对于A，由x∈可知2x∈，故g（x）在上是减函数，故A错；

又g＝2cos＝0，故x＝－不是g（x）的对称轴，故B错；

又g（－x）＝2cos2x＝g（x），故C错；

又当x∈时，2x∈，故g（x）的值域为[－2,1]，D正确．

（2）令2kπ＋＜2x＋φ＜2kπ＋，k∈Z，