浙江专版高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教学案030517文档格式.docx
《浙江专版高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教学案030517文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《浙江专版高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教学案030517文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
对称中心的横坐标可由ωx+φ=(k∈Z)解得,无对称轴.
提炼3三角变换常用技巧
(1)常值代换:
特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°
等.
(2)项的分拆与角的配凑:
如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等.
(3)降次与升次:
正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化:
一般是切化弦.
提炼4三角函数最值问题
(1)y=asinx+bcosx+c型函数的最值:
可将y转化为y=sin(x+φ)+c其中tanφ=的形式,这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y=sin(x+φ)+c的最值问题,然后利用三角函数的图象和性质求解.
(2)y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型函数的最值:
可利用降幂公式sin2x=,sinxcosx=,cos2x=,将y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x转化整理为y=Asin2x+Bcos2x+C,这样就可将其转化为
(1)的类型来求最值.
[高考真题回访]
回访1 三角函数的图象问题
1.(2016·
浙江高考)函数y=sinx2的图象是( )
D [∵y=sin(-x)2=sinx2,
∴函数为偶函数,可排除A项和C项;
当x=时,sinx2=sin≠1,排除B项,故选D.]
2.(2014·
浙江高考)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象( )
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
C [因为y=sin3x+cos3x=sin
=sin,又y=cos3x
=sin=sin,
所以应由y=cos3x的图象向右平移个单位得到.]
3.(2013·
浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是
( )【导学号:
68334026】
A.π,1 B.π,2
C.2π,1D.2π,2
A [f(x)=sin2x+cos2x=sin,所以最小正周期为T==π,振幅A=1.]
回访2 三角函数的性质问题
4.(2016·
浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关
B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关
D.与b无关,但与c有关
B [当b=0时,f(x)=sin2x+c=+c=-cos2x,其最小正周期为π.
当b≠0时,φ(x)=sin2x+c的最小正周期为π,g(x)=bsinx的最小正周期为2π,所以f(x)=φ(x)+g(x)的最小正周期为2π.
综上可知,f(x)=sin2x+bsinx+c的最小正周期与b有关,但与c无关.]
5.(2015·
浙江高考)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是________,最小值是________.
【导学号:
68334027】
π [f(x)=sin2x+sinxcosx+1
=+sin2x+1=+sin.
故最小正周期T==π.当sin=-1时,f(x)取得最小值为-=.]
6.(2017·
浙江高考)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
[解]
(1)由sin=,cos=-,
得f=2-2-2×
×
,
得f=2.6分
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得
f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin,
所以f(x)的最小正周期是π.8分
由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,12分
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).14分
回访3 三角恒等变换
7.(2016·
浙江高考)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>
0),则A=________,b=________.
1 [∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin+1=Asin(ωx+φ)+b,∴A=,b=1.]
8.(2013·
浙江高考)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=( )
【导学号:
68334028】
A. B.
C.- D.-
C [把条件中的式子两边平方,得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=,即3cos2α+4sinαcosα=,
所以=,所以=,即3tan2α-8tanα-3=0,解得tanα=3或tanα=-,所以tan2α==-.]
(对应学生用书第9页)
热点题型1 三角函数的图象问题
题型分析:
高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面:
一是考查三角函数解析式的求法;
二是考查三角函数图象的平移变换,常以选择、填空题的形式考查,难度较低.
【例1】
(1)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·
绍兴市方向性仿真考试)函数y=sinx(0<x<π)的图象大致是
( )
(1)A
(2)B [
(1)设f(x)=cosx+sinx=2=2sin,向左平移m个单位长度得g(x)=2sin.∵g(x)的图象关于y轴对称,∴g(x)为偶函数,∴+m=+kπ(k∈Z),∴m=+kπ(k∈Z),又m>0,∴m的最小值为.
(2)法一:
因为0<x<π,所以0<sinx≤1,所以y=sinx=|cosx|≥0,排除A,C,D,故选B.
法二:
当x=时,y=,排除C,D;
当x=时,y=,排除A,故选B.]
[方法指津]
1.函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定
(1)A由最值确定,A=;
(2)ω由周期确定;
(3)φ由图象上的特殊点确定.
提醒:
根据“五点法”中的零点求φ时,一般先依据图象的升降分清零点的类型.
2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
[变式训练1]
(1)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )【导学号:
68334029】
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
(2)(2016·
金华十校调研)函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图11所示,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)的值为( )
图11
A.0 B.2+
C.2 D.2-
(1)B
(2)B [
(1)∵y=cos2x=sin,∴y=cos2x的图象向右平移个单位长度,得y=sin=sin的图象.故选B.
(2)由题图可得,A=2,T=8,=8,ω=,
∴f(x)=2sinx.
∴f
(1)=,f
(2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-2,f(7)=-,f(8)=0,
而2018=8×
252+2,
∴f
(1)+f
(2)+…+f(2018)=2+.]
热点题型2 三角函数的性质问题
三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等,是高考的重要命题点之一,常与三角恒等变换交汇命题,难度中等.
【例2】 已知函数f(x)=4tanx·
sin·
cos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
[解]
(1)f(x)的定义域为.1分
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.4分
所以f(x)的最小正周期T==π.6分
(2)令z=2x-,则函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.8分
设A=,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=.
12分
所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.14分
研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质的“两种”意识
1.转化意识:
利用三角恒等变换把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式.
2.整体意识:
类比于研究y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”代入求解便可.
[变式训练2]
(1)(名师押题)已知函数f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是( )
A.在上是增函数
B.其图象关于直线x=-对称
C.函数g(x)是奇函数
D.当x∈时,函数g(x)的值域是[-2,1]
(2)已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若是f(x)的一个单调递增区间,则φ的取值范围为( )【导学号:
68334030】
A.
B.
C.
D.∪
(1)D
(2)C [
(1)因为f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得g(x)=f=2sin=2sin=2cos2x.
对于A,由x∈可知2x∈,故g(x)在上是减函数,故A错;
又g=2cos=0,故x=-不是g(x)的对称轴,故B错;
又g(-x)=2cos2x=g(x),故C错;
又当x∈时,2x∈,故g(x)的值域为[-2,1],D正确.
(2)令2kπ+<2x+φ<2kπ+,k∈Z,