高中数学优化设计第一轮复习考点规范练51课后习题Word版Word文档格式.docx
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A.3B.6C.9D.12
6.（2016河北南宫一中三模）已知抛物线y2=2px（p>
0）上一点M（1,m）（m>
0）到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=（ ）
A.B.C.D.
7.（2016浙江,理9）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .〚导学号37270371〛
9.已知过抛物线y2=2px（p>
0）的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A（x1,y1）,B（x2,y2）（x1<
x2）两点,且|AB|=9.
（1）求该抛物线的方程;
（2）O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.
〚导学号37270372〛
10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.
（1）求曲线C的方程;
（2）是否存在正数m,对于过点M（m,0）,且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<
0?
若存在,求出m的取值范围;
若不存在,请说明理由.
〚导学号37270373〛
能力提升
11.设F为抛物线y2=6x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=（ ）
A.4B.6C.9D.12〚导学号37270374〛
12.（2016四川,理8）设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>
0）上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A.B.C.D.1〚导学号37270375〛
13.
如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b（a<
b）,原点O为AD的中点,抛物线y2=2px（p>
0）经过C,F两点,则= .
14.已知抛物线C:
y2=2px（p>
0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
（1）求C的方程;
（2）过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'
与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
〚导学号37270376〛
高考预测
15.已知抛物线x2=2py（p>
0）的顶点到焦点的距离为1,过点P（0,p）作直线与抛物线交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,其中x1>
x2.
（1）若直线AB的斜率为,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程;
（2）若=λ,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有⊥（-λ）?
若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,说明理由.
〚导学号37270377〛
参考答案
1.B 解析由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为（1,0）.
2.B 解析抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=
设M（x0,y0）,则由抛物线的定义,可知-y0=1,y0=-
3.D 解析由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.
设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.
由抛物线的定义知
|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×
4=8.
4.A 解析由题意可知抛物线y2=8x的焦点F（2,0）,准线方程为x=-2.
设M（m,n）,则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5,解得m=3.
由n2=24,可得n=±
2
将M（3,±
2）代入双曲线-y2=1,
可得-24=1,解得a=,
即有双曲线的渐近线方程为y=±
x,即5x±
3y=0.
5.B 解析∵抛物线y2=8x的焦点坐标为（2,0）,
∴E的右焦点的坐标为（2,0）.
设椭圆E的方程为=1（a>
b>
0）,
∴c=2.
∴a=4.
∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1.
∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A（-2,3）,B（-2,-3）,∴|AB|=6.
6.A 解析因为抛物线的准线为x=-,所以1+=5,解得p=8,所以m=4.
又双曲线的左顶点坐标为（-,0）,所以,解得a=,故选A.
7.9 解析设点M坐标为（xM,yM）.抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.
8.2 解析由题意知F（1,0）,|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
9.解
（1）由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.
（2）由
（1）得4x2-5px+p2=0,
即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,
于是y1=-2,y2=4,
从而A（1,-2）,B（4,4）.
设C（x3,y3）,
则=（x3,y3）=（1,-2）+λ（4,4）=（4λ+1,4-2）.
又=8x3,所以[2（2λ-1）]2=8（4λ+1）,整理得（2λ-1）2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
10.解
（1）设P（x,y）是曲线C上任意一点,
则点P（x,y）满足-x=1（x>
0）,化简得y2=4x（x>
0）.
（2）设过点M（m,0）（m>
0）的直线l与曲线C的交点为A（x1,y1）,B（x2,y2）.
设l的方程为x=ty+m.
由得y2-4ty-4m=0,
Δ=16（t2+m）>
0,
于是
因为=（x1-1,y1）,
=（x2-1,y2）,
所以=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+y1y2+1.
又<
所以x1x2-（x1+x2）+y1y2+1<
0,③
因为x=,所以不等式③可变形为
+y1y2-+1<
即+y1y2-[（y1+y2）2-2y1y2]+1<
0.④
将①②代入④整理得m2-6m+1<
4t2.⑤
因为对任意实数t,4t2的最小值为0,
所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<
0,即3-2<
m<
3+2
由此可知,存在正数m,对于过点M（m,0）,且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<
0,且m的取值范围是（3-2,3+2）.
11.C 解析由题意得抛物线的焦点为F,准线方程为x=-
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）.
=0,
∴点F是△ABC的重心,
∴x1+x2+x3=
由抛物线的定义可得
|FA|=x1-=x1+,
|FB|=x2-=x2+,
|FC|=x3-=x3+,
∴||+||+||=x1++x2++x3+=9.
12.C 解析设P（2pt2,2pt）,M（x,y）（不妨设t>
0）,F,
则,
∴kOM=
当且仅当t=时等号成立.
∴（kOM）max=,故选C.
13.1+ 解析由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|=p=a,D,F,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2p=a2+2ab,
变形得-1=0,
解得=1+=1-（舍去）,所以=1+
14.解
（1）设Q（x0,4）,代入y2=2px得x0=所以|PQ|=,
|QF|=+x0=
由题设得,
解得p=-2（舍去）或p=2.
所以C的方程为y2=4x.
（2）依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1（m≠0）.
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D（2m2+1,2m）,
|AB|=|y1-y2|=4（m2+1）.
又l'
的斜率为-m,
所以l'
的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4（2m2+3）=0.
设M（x3,y3）,N（x4,y4）,
则y3+y4=-,
y3y4=-4（2m2+3）.
故MN的中点为E
|MN|=|y3-y4|=
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,
即4（m2+1）2+,
化简得m2-1=0,
解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
15.解
（1）由已知得p=2,直线和y轴交于点（0,2）,
则直线AB的方程为y-2=x,即x-2y+4=0.
由得A,B的坐标分别为（4,4）,（-2,1）.
又x2=4y,可得y=x2,
故y'
=x,
故抛物线在点A处切线的斜率为2.
设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2,
则
解得a=-1,b=,r2=,故圆的方程为（x+1）2+,
即为x2+y2+2x-13x+12=0.
（2）依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0,
故x1x2=-8.①
由已知=得-x1=λx2.
若k=0,这时λ=1,要使（-）,点Q必在y轴上.
设点Q的坐标是（0,m）,
从而=（0,2-m）,
-=（x1,y1-m）-λ（x2,y2-m）=（x1-λx2,y1-m-λ（y2-m））,
故（-）=（2-m）[y1-λy2-m（1-λ）]=0,
即y1-λy2-m（1-λ）=0,
即-m=0,
即（x1+x2）（x1x2-4m）=0,将①代入得m=-2.
所以存在点Q（0,-2）使得（-）.
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