知识学习等比数列教案Word下载.docx
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理解等比数列的通项公式及推导.
教学难点:
灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题,在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.将一张厚度为0.044mm的白纸一次又一次地对折,如果对折1000次,纸的厚度将是4.4×
10296m,相当于约5.0×
10292个珠穆朗玛峰的高度和,这可能吗?
但是一位数学家曾经说过:
你如果能将一张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上月球.将一张报纸对折会有那么大的厚度吗?
这就是我们今天要解决的问题,让学生带着这大大的疑问来展开新课.
思路2.先给出四个数列:
,2,4,8,16,……
,-1,1,-1,1,……
-4,2,-1,……
,1,1,1,1,……
由学生自己去探究这四个数列,每个数列相邻两项之间有什么关系?
这四个数列有什么共同点?
让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同?
由此引入新课.
推进新课
新知探究[:
Z]
提出问题
&
#61472;
&
#61480;
1&
#61481;
回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.
2&
阅读课本本节内容的①②③3个背景实例,领会三个实例所传达的思想,写出由3个实例所得到的数列.
3&
观察数列①②③,它们有什么共同的特征?
你能再举出2个与其特征相同的数列吗?
4&
类比等差数列的定义,怎样用恰当的语言给出等比数列的定义?
[:
5&
类比等差中项的概念,你能说出什么是等比中项吗?
它与等差中项有什么不同?
6&
你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗?
7&
类比等差数列通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公式吗?
8&
类比等差数列通项公式与一次函数的关系,你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗?
活动:
教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程,指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例.
引导学生发现数列①②③的共同特点:
对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2;
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于3;
对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于-12.
也就是说,这些数列有一个共同的特点:
从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一常数,这里仍是后项比前项,而不是前项比后项,具有这样特点的数列我们称之为等比数列.让学生类比等差数列给出等比数列的定义:
一般地,如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示,显然q≠0,上面的三个数列都是等比数列,公比依次是2,3,-12.
①给出等比数列的定义后,让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义,即a1=a,an+1=an&
#8226;
q.
②再让学生思考既是等差数列,又是等比数列的数列存在吗?
学生思考后很快会举出1,1,1,…既是等比数列也是等差数列,其公比为1,公差为0.
教师可再提出:
常数列都是等比数列吗?
让学生充分讨论后可得出0,0,0,…是常数列,但不是等比数列.
③至此,学生已经清晰了等比数列的概念,比如,从等比数列定义知,等比数列中的任意一项不为零,公比可以为正,可以为负,但不能为0.
④类比等差中项的概念,我们可得出等比中项的概念:
如果三个数x,G,y组成等比数列,则G叫做x和y的等比中项.如果G是x和y的等比中项,那么Gx=yG,即G2=xy,G=±
ab.因此同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,一个正数和一个负数没有等比中项.显然,在一个等比数列中,从第2项起,每一项都是它的前一项与后一项的等比中项;
反之,如果一个数列从第2项起,每一项都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列是等比数列.
演示:
不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程:
a2=a1+d,
a3=a2+d=+d=a1+2d,
a4=a3+d=+d=a1+3d,
……
归纳得到an=a1+d.
类比这个过程,可得等比数列通项公式的归纳过程如下:
a2=a1q,
a3=a2q=q=a1q2,
a4=a3q=q=a1q3,
归纳得到an=a1qn-1.
这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用.这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明,现在我们先承认它.
下面我们再类比等差数列,探究推导等比数列通项公式的其他方法:
∵{an}是等比数列,
∴anan-1=q,an-1an-2=q,an-3an-4=q,…,a2a1=q.
把以上n-1个等式两边分别乘到一起,即叠乘,则可得到
ana1=qn-1,
于是得到an=a1qn-1.
对于通项公式,教师引导学生明确这样几点:
不要把公式错误地写成an=a1qn.
对公比q,要和等差数列的公差一样,强调“从第2项起,每一项与它的前一项的比”,不要把相邻两项的比的次序颠倒,且公比q可以为正,可以为负,但不能为0.
在等比数列a,aq,aq2,aq3,…中,当a=0时,一切项都等于0;
当q=0时,第二项以后的项都等于0,这不符合等比数列的定义.因此等比数列的首项和公比都不能为0.
类比等差数列中d>0,d<0时的情况,若q>0,则相邻两项符号同号,若q<0,则各项符号异号;
若q=1,则等比数列为非零常数列;
若q=-1,则为如2,-2,2,-2,…这样的数列;
若|q|<1,则数列各项的绝对值递减.
最后让学生完成下表,从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同,加深概念的理解.
等差数列
等比数列
定义
从第2项起,每一项与它前一项的差都是同一个常数
从第2项起,每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差取值有无限制
没有任何限制
首项、公比都不能为0
通项公式
an=a1+d
an=a1qn-1
讨论结果:
~略.
等比数列定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.
并不是所有的两个数都有等比中项.
除0外的常数列既是等差数列,又是等比数列.
略.
应用示例
例1由下面等比数列的通项公式,求首项与公比.
an=2n;
an=14&
10n.
本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式,可由学生口答或互相提问.
解:
an=2&
2n-1,
∴a1=2,q=2.
∵an=14&
10&
10n-1,
∴a1=14×
10=52,q=10.
点评:
可通过通项公式直接求首项,再求公比.如中,a1=21=2,a2=22=4,∴q=2.
[:
变式训练
设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则2a1+a22a3+a4的值为
A.14
B.12
c.18
D.1
答案:
A
解析:
由题意,知a2=a1q=2a1,a3=a1q2=4a1,a4=a1q3=8a1,
∴2a1+a22a3+a4=2a1+2a18a1+8a1=14.
例2
本例是等比数列通项公式的灵活运用,可让学生自己完成.
解完本例后,启发引导学生观察a5,a10,a15,a20的规律.
已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=203,求{an}的通项公式.
设等比数列{an}的公比为q,则q≠0.
∵a2=a3q=2q,a4=a3q=2q,
∴2q+2q=203.
解得q1=13,q2=3.
当q=13时,a1=18.
∴an=18×
n-1=183n-1=2×
33-n.
当q=3时,a1=29,
∴an=29×
3n-1=2×
3n-3.
例3已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
求证:
数列{an+1}是等比数列;
求an的表达式.
教师引导学生观察,数列{an}不是等差数列,也不是等比数列,要求an的表达式,通过转化{an+1}是等比数列来求解.
证明:
∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2.
∵a1=1,故a1+1≠0,则有an+1+1an+1=2.
∴{an+1}是等比数列.
由知{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,
∴an+1=2&
2n-1,即an=2n-1.
教师引导学生进行解后反思.如本题,不能忽视对an+1≠0的说明,因为在等比数列{an}中,an≠0,且公比q≠0,否则解题会出现漏洞.
已知数列{lgan}是等差数列,求证:
{an}是等比数列.
证明:
∵{lgan}是等差数列,设公差为d,
则lgan+1-lgan=d,即an+1an=10d.[:
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