高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析Word下载.docx

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为坐标原点.求证：

是钝角三角形.

【评注】若直线

与抛物线

交于

两点，则：

（1）直线

在

轴上的截距等于

时，

（2）直线

轴上的截距大于

（3）直线

且小于

变式1如题（20）图，设椭圆的中心为原点O，长轴在

轴上，上顶点为

左、右焦点分别为

线段

的中点分别为

是面积为4的直角三角形

（1）求该椭圆的离心率和标准方程

（2）过

作直线

交椭圆于

两点，使

求直线

的方程

变式2设

分别为椭圆

的左、右顶点，

为直线

上不同于点

的任意一点，若直线

分别与椭圆交于异于

的点

.证明：

点

在以

为直径的圆内。

变式3已知m＞1，直线

，椭圆

，

的左、右焦点.（Ⅰ）当直线

过右焦点

时，求直线

的方程；

（Ⅱ）设直线

与椭圆

的重心分别为

.若原点

在以线段

为直径的圆内，求实数

的取值范围.

【例10.45】在平面直角坐标系中，点

到两点

的距离之和等于

，设点

的轨迹为

，直线

与

两点.

（1）求

（2）若

，求

的值.

变式1椭圆

的左、右、上、下顶点为

，焦点为

（1）求椭圆

（2）设

为过原点的直线，直线

两点，且

，是否存在上述直线

使

成立，若存在，求出直线

若不存在，请说明理由。

变式2椭圆

的一个焦点是

为原点坐标。

设过点

的直线

两点，若直线

交绕点

任意转动，恒有

，求实数

的取值范围。

二、利用向量的坐标表示解决共线问题

【例10.46】在平面直角坐标系中，经过点

且斜率为

有两个不同的交点

的取值范围；

是椭圆的右顶点和上顶点，是否存在常数

，使

共线？

若存在，求

的值；

变式1设椭圆

的左右焦点为

，离心率

是

上的两个动点，

（1）若

（2）证明：

当

取最小值时，

共线。

【例10.47】设

是椭圆

上的两点，并且点

满足

，当

斜率的取值范围。

变式1已知

的左、右焦点，直线

过

且垂直于椭圆的长轴，动直线

垂直于直线

，垂足为

，线段

的垂直平分线交

于点

（1）求动点

的轨迹

（2）过点

作直线交

于

两个不同点，设

，若

变式2过点

的直线交抛物线

两点，交直线

，已知

的值。

题型二、定点问题

【思路提示】

（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线

过定点

（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为

解方程组

，即得定点。

模型一：

三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点。

【例10.48】已知椭圆

：

与椭圆交于

两点（

非顶点），且以

为直径的圆过椭圆的右顶点。

求证直线

过定点，并求定点坐标。

【评注】已知椭圆

非顶点），①若以

为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线

②若以

为直径的圆过椭圆的左顶点，则直线

③若以

为直径的圆过椭圆的上顶点，则直线

④若以

为直径的圆过椭圆的下顶点，则直线

⑤类比椭圆，对于双曲线

上异于顶点的两动点

，若以

⑥类比椭圆，对于双曲线

变式1已知椭圆

的左顶点为

，不过

与椭圆交于不同的两点

.当

时，求

的关系，并证明直线

过定点。

变式2已知焦点在

轴上的椭圆

过点

，且离心率为

为椭圆

的左顶点.

（Ⅰ）求椭圆

的标准方程；

（Ⅱ）已知过点

（ⅰ）若直线

垂直于

轴，求

的大小;

（ⅱ）若直线

轴不垂直，是否存在直线

使得

为等腰三角形？

如果存在，求出直线

如果不存在，请说明理由.

【例10.49】已知抛物线

满足以

为直径的圆过顶点.求证：

直线

过定点，并求出定点坐标。

【评注】

（1）①将斜率存在的直线设为

，将直线斜率不为

的直线设为

②抛物线

中

③对于过定点问题，必须引入参数，最后令参数的系数为

（2）抛物线

，则直线

抛物线

变式1如图10-39所示，已知定点

在抛物线

上，过点

作两直线

分别交抛物线于

两点，且以

为直径的圆过点

.求证：

变式2已知抛物线

，过点

的斜率

求证：

模型二：

三点圆锥曲线中，若过焦点的弦为

，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点

，使得

为定值。

【例10.50】已知椭圆

:

的右焦点为

，且点

在椭圆

上.（Ⅰ）求椭圆

（Ⅱ）已知动直线

，且与椭圆

两点.试问

轴上是否存在定点

恒成立？

若存在，求出点

的坐标；

若不存在，请说明理由.

变式1已知双曲线

的左、右焦点为

，过

的动直线与双曲线交于

两点.在

为常数？

题型三、定直线问题

模型：

已知椭圆

外一点

，当过

的动直线

时，在线段

上取一点

，满足

总在某定直线上，并求出该直线的方程。

证明：

设

，由题意知

设

之间，

，又

之间，故

又因为

，所以

由

得

，解得

同理，由

解得

因为点

在椭圆上，所以

即

①

同理，由点

在椭圆上，可得

②

由①—②整理得

所以点

在定直线

上。

类比椭圆，对于双曲线有点

再由

的对等性知，当

在椭圆内，上述结论仍成立，双曲线亦同。

已知抛物线

，定点

不在抛物线上，过

与抛物线交于不同的两点

，在线段

所以

在抛物线上，所以

①

在抛物线上可得

②

所以点

在直线

【评注】三大圆锥曲线中，当点

在曲线上时，相应的定直线

均为在定点

处的切线。

【例10.51】已知椭圆

，且左焦点为

（2）当过点

相交于不同的两点

在线段

题型四、定值问题

【思路提示】求定值问题的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关。

这符合一般与特殊的思维辩证关系。

简称为：

特殊探路，一般论证。

（2）直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

在三大曲线中，曲线上的一定点

与曲线上的两动点

的斜率是定值。

【例10.52】已知椭圆

上的点

上的两动点，若

的斜率为定值，并求出该定值。

是长轴为4，焦点在

轴上的椭圆上的三点，点

是长轴的一个端点，

过椭圆的中心

，且

（1）求椭圆的方程；

（2）如果椭圆上的两点

的平分线垂直于

，问是否存在实数

？

说明理由。

变式2如图，过抛物线

上一定点

，作两条直线分别交抛物线于

（I）求该抛物线上纵坐标为

的点到其焦点

的距离；

（II）当

的斜率存在且倾斜角互补时，

求

的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。

题型五、最值问题

【思路提示】有两种求解方法：

一是几何法，所求最值量具有明显的几何意义时，可利用

几何性质结合图形直观求解；

二是目标函数法，即选取适当的变量，建立目标函数，然后按照求函数最值的方法求解，同时要注意变量的范围。

【例10.53】设椭圆

，点

是椭圆上的动点，点

的最大值和最小值。

【评注】这里利用椭圆定义三角形两边之差小于（共线反向时等于）第三边，使与曲线有关的最值转化为直线段的最值。

应明确此处不能用

，因为等号取不到，若要取等号，则

必须在线段

上，但事实上不可能。

变式1如下图所示，，已知点

是抛物线

上的点，设点

到此抛物线的准线的距离为

，到直线

的距离为

的最小值。

变式2已知点

为双曲线

上的动点，

.

的最大值及此时点

的坐标。