一中下学期期末复习学案圆锥曲线专题教师版Word格式文档下载.docx

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，焦点在轴上．

（谁的_______________，焦点就在谁的轴上。

）

拓展：

椭圆方程的一般形式：

（当时，焦点在_________；

当时，焦点在___________。

）

双曲线：

焦点在轴上

（谁的______________，焦点就在谁的轴上。

双曲线方程的一般形式：

（当时，焦点在________；

当时，焦点在____。

抛物线：

（其中），焦点在轴上；

（其中），焦点在轴上。

（谁是______________，焦点就在谁的轴上。

3.三种圆锥曲线的几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

图形

标准方程

（>

0）

（a>

0,b>

范围

─axa，─byb

|x|a，yR

x0

中心

原点O（0，0）

顶点

（a,0）,（─a,0）,（0,b）,（0,─b）

（a,0）,（─a,0）

（0,0）

对称轴

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点

F1（c,0）,F2（─c,0）

准线

x=±

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

焦距

2c（c=）

离心率

e=1

渐近线

通径

4．参数的几何意义：

（1）椭圆:

，，其中______最大。

焦点总在长轴上.

。

其中_______最大。

焦点总在实轴上。

当a=b时，为______双曲线。

其离心率是____，渐近线为_________，相互_______。

焦准距是__________的距离，故恒为正数。

焦点的非零坐标为_______________。

5．离心率

。

离心率可以描述椭圆的形状。

当趋近于1时，椭圆越_______；

当趋近于时，椭圆越______.

离心率可以描述双曲线开口的大小。

e越大，开口就越

抛物线的开口大小可以由__________来描述。

通径越长，开口越______。

6.双曲线的渐近线：

把标准方程中的“1”用_________替换即可得出渐近线方程．以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为________________。

7.抛物线的焦点弦性质：

若抛物线的焦点弦为AB，，则

①；

②（此结论大题不可直接使用，需要推导。

③其中是直线AB的倾斜角，可见，_________是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦。

8.点与椭圆的位置关系：

点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆_______；

（2）点在椭圆_____；

（3）点在椭圆______

9.直线与圆锥曲线的位置关系：

方程联立消元。

直线与椭圆_______；

直线与椭圆________。

①二次项系数为0时，求出的直线斜率与渐近线斜率相同。

此时直线与双曲线相交且只有一个交点。

②当二次项系数不为0时，直线与双曲线_________；

直线与双曲线_________；

直线与双曲线_________。

（是直线与双曲线相交的充分不必要条件_条件）

以为例。

①二次项系数为0时，求出的直线斜率为0。

此时直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线相交且只有一个交点。

②当二次项系数不为0时，直线与抛物线_________；

直线与抛物线_________；

直线与抛物线_________。

（是直线与抛物线相交的充分不必要条件_条件。

温馨提示：

直线与圆锥曲线相交于两点，则必有二次项系数不为0且故在求解有关弦长、中点弦问题时，勿忘检验！

10．弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，

则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，

若弦AB所在直线方程设为，则＝。

特别地，抛物线的焦点弦，一般看成两个焦半径之和，再用定义转化为到准线的距离。

11.焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）求面积问题：

常用余弦定理结合椭圆或双曲线的定义凑完全平方式求解。

12.圆锥曲线的中点弦问题：

常用“韦达定理”或“点差法”求解。

课堂自主学案

【题型分析】

题型一：

圆锥曲线的定义

例1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（C）

A．B．C．D．

变式1：

在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点的椭圆方程．

解：

以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设．

则∴即∴得

∴所求椭圆方程为

变式2：

的底边，和两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角

形重心的轨迹和顶点的轨迹．

（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．设，，则．①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．

例2.方程表示的曲线是_____（答：

双曲线的左支）

已知双曲线与椭圆：

有公共的焦点，并且双曲线的离心率与椭圆的离心

率之比为，求双曲线的方程．

的焦点坐标为由得设双曲线的方程为

则解得双曲线的方程为

△ABC中，B（-5,0）,C（5,0）,且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程．

分析：

由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边

长的关系．

sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·

2RsinA∴即（*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为（x>

3）

点评：

要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例3.已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___（答：

2）

变式：

以抛物线上的点M与定点为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程．

设点，则，∴．代入得：

．此即为点P的轨迹方程．

题型二：

圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）

例4.已知方程表示椭圆，则的取值范围为____

（答：

）；

例5.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______

与双曲线有公共的渐近线,且经过点的双曲线方程是__________.

答案：

题型三：

圆锥曲线的几何性质

例6.

（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：

3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__

例7.设双曲线（a>

0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是______

例8.设，则抛物线的焦点坐标为________（答：

题型四：

直线与圆锥曲线的位置关系

例9.①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是____

（-,-1））；

②直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是____

[1，5）∪（5，+∞））；

③过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有__3__条

例10.①过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：

②过点（0,2）与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______

③过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有__3__

④过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（答：

1）；

题型五：

焦点三角形

例11.

（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：

6）；

（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：

题型六：

弦长公式及面积

例12.

（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：

8）；

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：

3）；

例13.已知双曲线的方程为，设F1、F2分别是其左、右焦点．

（1）若斜率为1且过F1的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的长；

（2）若P是该双曲线左支上的一点，且，求的面积S．

（1）AB：

，代入并整理得设

则

（2）设，则2在中，由余弦定理有

已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

（1）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．

设两点坐标分别为．由得．

所以．

又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．

（2）设所在直线的方程为，由得．

因为在椭圆上，所以．设两点坐标分别为，

则，，所以．又因为的长等于点到直线的距离，即．．

所以当时，边最长，（这时）

此时所在直线的方程为．

题型七：

圆锥曲线的中点弦问题

例14.已知椭圆，

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．

此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

设弦两端点分别为，，线段的中点，则

1－②得．

由题意知，则上式两端同除以，

有，

将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：

．⑥

将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．

（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：

（4）由①＋②得：

，⑦，将③④平方并整理得

，⑧，，⑨

将⑧⑨代入⑦得：

，⑩

再将