《统计学》贾俊平Word文件下载.docx
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简记为仁站~U[a,b]o
其中抄&
为常数。
那么称彳服从区间（&
6）上的均匀分布,
均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。
（4）正态分布
设随机变虽疳有概率密度
其中“，b>
0为常数。
那么称歹服从参数为〃，ci的正态分布，简记为r.v^〜
特别，当“=（）•<
1=1
1-二
0（%）=■.——e2<
-v<
+so此时称§
服从标准正态分布。
简记为
r.v.41）。
5•概率密度与分布函数的互求
十概率密度给定时，运用逐段枳分可求得分布函数c即F（a）=P{^<
x）=⑴d/，
如此得到的分布函数是定义在整个实数轴上的连续函数。
反之，当分布函数时.在的连续点上运用逐段微分可求得概率密度。
即
dxdx—
可见，连续型随机变虽的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。
6.给定分布时的概率计算小结
⑴分布律时的概率计算公式是P{a<
b}=工Pj
a<
x-<
b
⑵概率密度时的概率计算公式是P{a<
b}=^f{x）dx
（3）分布函数时的概淞汁算公式是P{a<
h}=F（b）一F（a）
（4）正态分布下的概率计算公式是P（a<
（<
h}=①（2二?
）一①（纟二勻
（J（J
其中几代、N（“，CT2）：
（X）为标准正态分布函数cM1-v>
0时其数值可査标准正态分布函数数值表
（以下简称正态分布表）直接得到：
对于负实数小在公式（切转化下.仍可査表求值。
二・随机变虽函数的分布
随机变虽的函数〃=£
〔$〕在一定条件下仍是随机变虽:
。
的分布可由的分布确定。
但在求
的分布具体处理方法上，离散型和连续型是有区别的。
1.离散型随机变址的函数77=g©
分布
-Vi
•••f•••
A
…ps…
那么半诸g（xz）（/=123,…）的值互异时，的分布律为
〃
gg〕gg
・••g〔百〕…
Pi
P・a
…px…
如果心）（/=1,2,3，…）中有某些值相同时.那么将相应概率相加之后予以合并处理，必耍时重新排序后写岀的分布律。
可见.在离散型场合下.的分布律完全由的分布律确定。
2.连续型随机变址的函数q=g©
设为连续型随机变量.其概率密度为（%），那么〃=gC?
）仍为连续型随机变虽.其概率密度的计算步骤为:
（1）根据的概率密度（X）.求出〃的分布函数
FtJ（y）=P{f]<
y}=P{S（^<
y}=闪忙其中,Dy={^x）<
y}
（2）对F'
y）求导得〃的概率密度在函数g（x）可导且严格取调时，〃的概率密度为厶（y）=.〃（/心））W'
（y）|‘
其中X=/2（y）是严格单•调可微函数y=g（x）（与〃=g（G对应的普通函数）的反函数c至于y的取值范碉，原那么上将由厶（x）中用的取值范困及•爲（y）中的y的允许范围讨论确定。
可见，连续型场合下.〃的概率密度完全由的概率密度确定。
3.连续型随机向虽的函数的分布P97如卷积公式
卷积公式：
设a；
卩）的联合密度函数为fix,y）.求X+Y的密度函数。
<
（z）=J：
fix,z一x}dx
如果X^Y是相互独立的随机变址.那么有
fXz）=匚fx（X）fy（z-x）dx=匚厶（n-y）fY（y）dy（卷积公式）
4・随机向址的数字特征P101协方差协方差矩阵相关系数
设（尤，F）为二维随机变虽，
cov（XK）=EUX-EX）（7-57）1=EXY-EXEYp=cov（T^2
4dx/dy
第四草数理统计的根底知识
4.1总体与样木
一、总体与总体分布
定义4・1在统计学中称随机变虽（或向虽）X为总体，并把随机变虽（或向址）X的分布称为总体的分布。
2.样本与样木分布
称（尤〞尤三••…兀）为总体X的简収随机样木，假设尤〞J2...,Xn是独立同分布的随机变此且与总体X同分布。
样木中所含分址的个数n称为该样木的容虽。
以大写的英文字表示随机变虽，而以相应的小写英文字母X」•表示它的观察值•并称样木
（X〞九•…，乙）的一组具体的观察值（山，A%...,JVJ为样木值°
设总体X的分布函数为尸〔X〕•那么由定义4・2〔尤〞兀・・・「Y丿的分布函数为
F=X\、X.y...yXn〕=口F〔xJ称之为样木分布。
"
2=1
假设总体X为连续型随机变址，其密度函数为f〔X〕,那么样木的密度函数为
n
佥（X,...yX）=IIfix）°
~1=1
三、统汁推断问題简述即借助总体X的一个样木〔尤卫尤2・・・，尤・丿・对总体X的未知分布进行推断，我们把这类问題统称为统计推断问题。
统计量
一、统汁虽的定义
定义4・3设CY〞Xz...,Xn〕为总体X
样木的统il-So如Sh=尤1+*2+・・・+尤〃X=S./n
二、常用的统计址
1.样木均值称样本的算术平均值为样木均值，记为戸，即X=-〔X,+X2+・・・+尤占〕
2•样木方差
更多时候用修正样木方差
〞标准差S侣学3
4.样木原点矩
]n
Ak=.k>
1并称月立为样木的k阶原点矩。
n2-1
5.样木中心矩
1GJ
Bk=-V.-X〕.A>
1.并称乞为样木的k阶中心矩。
刀気「
三、枢轴虽
的样木函数称为枢轴量。
匕_pGcy-“）
b°
如总体*'
Ar〔//>
其中冼，“未知.〔尤1八丫2••…兀〕为总体/的一个样木，令
上述函数u中虽然含有未知参数“•但总有/tAr〔0,l〕,故u是一枢轴虽.
可以对"
作统计推断。
常用的统汁分布
一、分位数定义设随机变址X的分布函数为尸〔X〕.对给定的实数G〔0<
<
7<
1〕，如果实数化，满足
p\x>
化｝=e即1一代=6或尸亿〕=1一4那么称&
，为随机变址X的分布的水平a的上侧分位数。
或直接称为分布函数F〔x〕的水平&
的上侧分位数。
定义设X〔X〕，对给定的实数Q〔0<
6Z<
1〕,
如果正实数乙满足尸测>
7；
｝=a,即尸〔人〕-尸〔一厶〕=1一a那么称7；
为随机变址X的分布的
水平Q〔x〕的水平a的分位数。
二、旷分布
在第二例2.29：
假设X"
Ar（O,l）.那么的密度函数为fCy）=>
0.<
4.17）
命题设X2...,Xn是n个相互独立的随机变址，且扎'
押（0,1）,i=l,2,-,n,那么
X=尤；
+X；
+・・・+X；
）
的密度函数为十、1〔4.18〕
Z-〔.r;
n〕=—T-,-Y>
0・
2^r〔-〕
2
其中r〔a〕=广Xa-le-sdx{a>
0〕是厂〔伽马〕函数。
定义4.6一个随机变虽X称为服从以n〔4・18〕给出，记作
X~Z2（n）.
（命题4・1证明）由（4・17）知，当n=l时，（4.18）成立，使用数学归纳法，设n球时，（4.18）成立，令§
=/；
+/；
+・・・+X：
7]=y=X+由归纳假设及（4・17）知：
4,77的密度函数分别为
1£
-1亠1丄-I
fXx）=x2e'
、x>
0•為（y）=yze2,y>
0.
5-k11
22T（-）22H-）
22
3z>
o时.y的密度函数可按下
£
（z）=[矣（N-y）fn（y）dy=
-i
z乙
22巩£
±
1）
…°
「（Z-yYyzdy=
丝&
1Jo
22r（-）r（-）
=令丄一fa-令r=d
—k1Qz
22r〔-〕r〔l〕
其中倒数第二个等式中使用了贝塔函数的定义：
5〔a〕=£
Xp-\1一xy-^dxkp>
0,Q>
0〕以及贝塔函数和伽马函数的关系：
r（a）r（z>
）r（a+b）
命題4.2
（1）假设X〜Z2（zzz）.Y'
Z2（/?
）,且X与Y相互独立，那么X+F、才5+n）c
⑵假设/'
旷〔刀〕，那么空=nyDX=2n□
1〔巴〕〔巴却訂〔1+巴』严叫x>
吩冷〕…门
其中B（a）=£
Xp^（l-xY^dx（p>
0,q>
0）是B函数。
定义4・7如果一个随机变址X的密度函数由4・20给出.那么称其服从第一自由度为m.第二自由度为n的F"
尸〔加，27〕。
而且由命題4・3可得到：
X'
尸〔码刀〕，那么才7'
尸〔刀，口〕。
〔命题4・3证明〕I刘为X'
才S〕，/'
Z：
〔/3〕.由定义4・6知.X与Y的密度函数分别为
al<
力1
—-1r1—-1一一y
〔x〕=zzezyx>
0・£
〔y〕=zze2,y>
0.设
2齐〔鋼2淞〕
Y
ZQ=r,从而Z=-Zo,由于X,Y皆为非负的随机变虽且相互独立，由第三章的例可知•匀
1m
z>
o时，随机变虽Z°
的密度函数可按下式汁算:
°
刁〔1+』宁=]h〔i+z〕佇，再由于Z=-Z°
当Z>
0时，即知随
咛咛B暑〞
定义如果一个随机变址X的密度函数由
〔〕给出.那么称其为服从自由度为n的广分布，记作
X~t（n）
〔命题4.4证明〕T的密度函数也是对称函数〔习题四的第5题〕。
其次，以fT⑴与车|C〕分别表示为卩|
现设尸=,"
那么尸~F〔hn〕•且由命题也3F的密度函数为
g=——-1〔兰〕％+h竽,X>
o.再注意到|打=丄==存•由练习2-5的第9^1n^nnnyjY/n
2f2
题可知.M11>
0时.应有：
1_£
厂上
-（-）2（1+-）2
nnn
t>
时，（4・23）式是成立的，再由于£
〞Ux<
0时，（4.23）式也成立。
抽样分布
定理4・1设总体X~,V（//,CT2）,CVPX2..・，乙）是容址为n的一个样札〒与S，分别为此样
木的样木均值与样木方差，那么有：
（1）X、Ng—）;
（2）n—1S:
~z2（n-1）:
（3）X与n（7"
S'
相互独立。
（证明在P146
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