概率论必备知识点Word格式.docx
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AB=<
hA、B互为对立事件=Q且AB=C>
.
（6）事件的运算法则：
1）交换律：
=AB=BA:
2）结合律：
4u（BuC）=（AkjB）uC,（AB）C=A（BC）:
3）分配律：
（4uB）C=ACuBC,（AB）uC=（quC）（BuC）；
4）对偶（DeMorgan）律:
A<
jB=AB,AB=A<
jB,可推广kkkk
3、频率与概率
（1）频率的泄义：
事件A（£
n次重复试验中出现g次，则比值/称为事件A在〃次
n
重复试验中出现的频率，记为即九（人）=匕・
（2）统计概率：
当ms时，频率£
（A）=b—P（A）・当"
很大时，
P（A）=P"
（A）称为事件A的统计概率.
（3）古典概率：
若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则试
验对应古典概型（等可能概型），事件A发生的概率为：
4中所含样本点数_k_k（A）
）一。
中样本点总数一7—〒.
（4）几何概率:
若试验基本事件数无限，随机点落在某区域吕的概率与区域£
的测度（长
g的测度
0的测度
度.而枳、体积等）成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何概型，“在区域。
中随机地取一点落在区域g中”这一事件A”发生的概率为：
（5）概率的公理化左义：
设（C,F）为可测空间，在事件域F上左义一个实值函数
P（A）9AeF,满足：
1）非负性：
P（A）>
0.对任意AeF；
2）规范性：
P（Q）=1:
3）可列可加性：
若有一列A21,2,…，4小=①，使得P（[jA/）=XtP（Ai；
）,
；
=i;
=•
则称P（A）,AeF为0■域F上的概率测度，简称“概率”.
4、概率的基本性质
（1）不可能事件概率零：
P（①）=0.
（2）有限可加性：
设儿，仏，…,A“是n个两两互不相容的事件，即At.A.=◎,（&
））
ij=l,2,…”，则有Pg^A2^-^A/l）=P（A,）+P（A2）+-+P（A/l）.
（3）单调不减性：
若事件则P（B）>
P（A）,且
P〈B—龙=P®
—P3.（4）互补性：
尸（A）=1—尸C4）,且PC4）<
1.（5）加法公式：
对任意两事件q、B,有P（A<
jB）=P（A）+P（B）-P（AB）:
此性质可推广到任意”个事件A〕，A?
，…‘A”的情形.
（6）可分性：
对任意两事件A、B,有P（A）=P（AB）+P（AB）.
5、条件概率与乘法公式
（1）条件概率：
设A、B是。
中的两个事件，即4、BwF，则P（B\A）=^^-称
P（A）为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
（2）乘法公式：
设A、BuF,则P（AB）=P（A）P（BIA）=P{B）P{AIB）称为事件A、B的概率乘法公式.
6、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式
（1）全概率公式：
设备仏,…,A”是。
的一个划分，且P（AJ>
0,（/・=1,2,…则对任何事件BwF,有P（B）=fP（4）P（BIA）,称为全概率公式.
/>
i
（2）贝叶斯（Bayes）公式：
设人,心…,人是C的一个划分,且卩（4）>
P（Ai）P（B\Ai）
（/・=1,2,…,“），则对任何事件BwF,有P（舛13）=,（7=1,-
/=1
称为贝叶斯公式或逆概率公式.
7、事件的独立性
（1）两事件的独立：
设（G,F,P）为一概率空间，事件A、BwF,且P（A）>
0,若P（B）=P（B\A）,则称事件A与B相互独立;
等价于：
P（AB）=P（A）P（B）.
（2）多个事件的独立：
设是n个事件，如果对任意的k（l<
k<
n）,任意的1#<
<
•<
/,<
n,具有等式P（A.Ai2--A.）=P（A.）^（4）•-P（A.）>
称n个事件A]”?
，…，儿相互独立.
8、贝努里（Bernoulli）概型
（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E.E也叫做“成功一失败”试验，‘'
成功”的概率常用p=P{A）表示，英中A=“成功”.
（2）把E重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验，记为E”.
（3）把E重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为以上三种贝努里试验统称为贝努里概型.
（4）E”中成功R次的概率是：
C；
//（1-py~k=C*pkcrkA^<
n）H中
p+O=l.
第二章随机变量及其分布
1、随机变量
设O是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果都有唯一的实数X（e）与之对应，则称X（e）为圧义在O上的随机变量，简记为X.随机变量通常用大写字母X、Y.Z等表示.
2、分布函数及其性质
设X为随机变量，x为任意实数，函数F（x）=P{X«
x}（—svxv+s）称为随机变量X的分布函数.
分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：
（1）0<
F（x）<
1（-00<
x<
+s）；
（2）如果x{<
x2,则F（x}）<
F（x2）；
（3）F（x）为右连续,即F（x+O）=F（x）；
（4）limF（x）=0,limF（x）=1:
A->
-WA—>
-KC
（5）P{xx<
X<
xz}=P{X<
x2}-P{X<
x{]=F（x2）-F（Xi）.
3、离散型随机变量及其概率分布
如果随机变虽X只能取有限个或可列个可能值•则称X为离散型随机变量•如果X的一切可能值为“,£
・・・，并且X取耳的槪率为几，则称
Pk=P{X=x&
}伙=1,2,3,…）为离散型随机变量X的概率函数（概率分布或分布律）
成表格形式，也称为分布列（表2-1）：
表2-1
X
“勺勺…
P
P\PiPy…
其中pino,工Pi=1.
常见的离散型随机变量的分布有：
<
1）0-1分布，记为X~（0-1），概率函数
P{X=灯=/『（1一〃）1,&
=0」，0<
/?
<
1；
（2）二项分布，记为X~3（仏〃），概率函数
P{X=k}=c^pk（\-pY'
-k,k=0,1,•••,»
o<
p<
1：
（3）泊松分布，记为X概率函数
jk—A
P{X=灯=—=0丄…，A>
0；
k\
泊松泄理设兄>
0是一常数，〃是任意正整数，设npn=2,则对于任一固泄的非负整数
/北—A
k，有limC：
p：
（l-几严=筈厂.
”T3Ck!
当〃很大且P很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即
—"
）1，其中A=np.
（4）超几何分布，记为X〜H（nMN"
槪率函数
M<
N.n<
N.
^很大.且P唏较仙，有夸
（5）几何分布，记为X~G（〃），槪率函数
P{X=k}=p（l-p）k^l9k=0^-.0<
1.
4、连续型随机变量及其概率分布
如果对于随机变量X的分布函数F（x）.存在非负函数f（x）,使对于任一实数x,有
F（x）=匸/⑴刃，则称X为连续型随机变量•函数f（x）称为X的概率密度函数.
槪率密度函数具有以下性质：
（1）f（x）>
0:
（2）力=1；
（3）P{xt<
x2）=£
'
:
（4）P{X=^）=0：
（5）如果/（x）在X处连续,则F,（x）=f（x）.
常见的连续型随机变量的分布有：
（1）均匀分布，记为X概率密度为
0,x<
a
（2）指数分布，记为X~E
（2）,概率密度为
（3）正态分布，记为X~N（“。
彳），概率密度为
1-（““）2
/（x）=p=£
Pk,_s<
xV+S,相应的分布函数为F（x）=
当“=0,b=1时，即X〜N（OJ）时，称X服从标准正态分布•这时分别用0（切和
11“—
①（x）表示X的密度函数和分布函数，即仅劝=〒=£
2,①e2加・具有性J2龙宀
质：
①（-X）=1-①（x）.
一般正态分布X~N（“,b?
）的分布函数尸（兀）与标准正态分布的分布函数①Cv）有关系：
F（x）=©
（匚理）.
y
5、随机变量函数的分布
（1）离散型随机变疑函数的分布
设X为离散型随机变量，英分布列为（表2-2）:
表2-2
X\X2X3…X”…
PlPl03…Pn…
则Y=g（X）任为离散型随机变量，其分布列为（表2-3）：
表2-3
Y
>
i=g（州）
y2=sMy3=g（x5）…yn=g（斗）…
Pi
PlPi…Pn…
另有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.
（2）连续型随机变疑函数的分布
设X为离散型随机变量，概率密度为fx（x）,则Y=g（X）的概率密度有两种方法可求.
1）楚理法：
若y=g（x）在X的取值区间内有连续导数g'
（x）,且g（x）单调时.
Y=g（X）是连续型随机变量，苴概率密度为
f八八」川/心）W（y）|d<
y<
/r0）=t0,其它
其中a=min{g（-s）,g（+s）},0=max{g（-s）£
（+=）}力（y）是g（x）的反函数.
2）分布函数法：
先求Y=g（X）的分布函数
FY（y）=P{Y<
y}=P{g（X）<
y}=X必，然后求齐（刃=[耳（$）]'
•
kAt（>
）
第三章多维随机变量及其分布
1、二维随机变量及其联合分布函数
设x,y为随机变量，则称它们的有序数组（x,r）为二维随机变呈:
设（X,Y）为二维随机变量，对于任意实数X、y,称二元函数
F（x,y）=P{XSx,YSy}为（X,Y）的联合分布函数.
联合分布函数具有以下基本性质：
（1）F（x,y）是变量x或y的非减函数：
（2）0<
F（x,y）<
1且
F（—°
o,y）=0,F（x,—8）=0,F（—s,—oo）=0,F（+s,+s）=1:
（3）F（x,y）关于
升级会员 