简易数学模型Word文档下载推荐.docx
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amim
）
xm
1
我们可以算出每种年期的平均年利率（复利）
rk（1
ai）ak
kk
这样lnp
x1a1lnrk
x2a2lnr2
xmam
lnrm
这样求p的最大值等价于求lnp的最大值。
假设r1,r2,...rm中最大的为
到最佳的存款方案。
rk,且ak整除n，则选择第k个年期，否则只能用枚举的方法得
知识点：
单利，复利,对数
2.体积一定的罐头罐，尺寸应该怎样？
罐头罐通常为圆柱体，假设半径为r,高为h.由于体积v一定,所以
r2h
v，设计罐头罐应考虑制造成本：
（1））材料费用：
罐头罐的表面积与单位面积材料费c的乘积：
（2r2
2rh）c
（2））焊接费用：
焊接长度与单位长度的焊接费用d的乘积：
（4πr+h）d
总费用
co（2r
v
（4r
h）d
（2r
2r2）cr
（4r
2）d
r
2r2c
2vc4rddv
rr2
当然实际生产过程中，材料的利用率是非常重要的因素。
讨论：
试研究当d和c的大小发生变换时，对r的影响。
练习：
某仓库拟用12根长a米的钢管及足量的防水布在露天以钢管为棱搭建若干个棱锥形帐篷零时储物.问如何搭建才能使容积最大?
知识点:
表面积，体积，函数极值
3.某厂每月需供应零件420个（不允许缺货）,每月生产率1200个,（由于不必每天生产,所以分批生产）每批装配费500元,存储费每月每件8元（存储费与存储时间成比例）,试安排生产周期和每期产量.
几个基本假设：
（1）不能缺货
（2）零件的供应是连续的匀速的，生产过程中零件的产量是连续均匀的
（3）生产是周期性的
每个周期（设为t）需考虑的费用：
装配费k,存储费v.
一个周期内库存量q与时间t的关系如下：
tpt
tp为该周期内生产时间,∵每周期内产量和供应量平衡∴1200tp=420t，tp=420/1200t=0.35t,最高存储量为（1200-420）tp=273t,最低存储量为0，平均存储量为273t/2=136.5t,存储费v=8×
136.5t×
t=1092t2
一周期内的总费用为：
k+v=500+1092t2
平均每月费用为：
（500+1092t2）/t
最佳的生产计划应使得单位时间成本最低（或单位零件的生产成本最低）
讨论：
研究最佳生产周期与装配费间的关系。
如果允许缺货，缺货费为每月每件s
元，对上述模型进行修正练习：
3.1.某商店经售甲商品,成本单价500元,年存储费用为成本的20%（存储费与存储时间成比例）,年需求量为365件,需求速度为常数（不允许缺货）.甲商品的订购费为20元,提前期为10天,安排订货周期和每期订货量.
3.2.某厂每年需某种元件5000个,需求速度为常数（不允许缺货）,每次订购费50
元,年存储费用为1元（存储费与存储时间成比例）,元件单价K（元）随采购数量Q（个）变化而变化:
Q<
1500时,K=2.0;
Q≥1500时,K=1.9.安排采购周期和每期采购量.
函数极值
4.汽车位于点A,朝向垂直AB.不允许倒车，求汽车到达点B的最短路径.
假设汽车有最小的转弯半径r，汽车的大小相对于r,及A,B间的距离d
可忽略不计。
如果d≥2r,如下图：
从A点出发作以r为半径的圆周运动，当该圆过汽车所在点的切线过点B时，汽车径直开向B
如果d<
2r,如下图：
从A点出发径直开练习：
r2（d
r）2
然后作以r为半径的圆周运动，圆恰好过B
一幅长为b的画挂在墙上，倾角为q,画的底部离地面的高度为a,试确定观赏者的
最佳位置。
三角比
5.如图为一双向通行的一个十字路口，每个方向均有一车辆通道，不考虑行人，车辆不允许转弯，给定红绿灯变换周期，试建立数学模型确定水平方向红灯所占时间。
H:
水平方向；
V:
竖直方向。
假设
（1）车流是均匀的
（2）有车停车后再发动到正常车速所需时间相等（设为s）。
（3）忽略红绿灯间的间隔（黄灯）
（4）车队中的车能同时制动和同时启动
合理的红绿灯比例配置应使得一周期内车子被延误的时间总和尽量小。
设一周期时间为1。
水平方向红灯时间为
r,
则绿灯时间为（1-r）;
竖直方向红灯
时间为（1-r）,则绿灯时间为r;
假设水平方向每周期到达的车辆数为h,
则红灯引起的停车量为：
hr,平均等待时间为r/2,总共延误时间为：
hr（s+r/2）
假设竖直方向每周期到达的车辆数为v,
v（1-r）,平均等待时间为（1-r）/2,总共延误时间为：
v（1-r）（s+（1-r）/2）
两个方向总共延误时间t=hr（s+r/2）+v（1-r）（s+（1-r）/2）
t是r的二次函数，我们可以找到合适的r,使得t最小。
如果假定红灯转成绿灯时，每辆相继启动的车之间有一定时间的延误或考虑红绿灯转换的时间间隔，试修正上述模型。
设路口交通灯的变换周期为2分钟,一个周期内东西向和南北向来车分别为
20辆和16辆,停车后再发动到正常车速所需时间为2秒.求一个周期内东西向开红灯的最佳比率.
二次函数
6.现有甲，乙，丙三个服装厂生产同一种服装,甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2:
1,乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3:
2,丙厂每月生产成衣1000套，生产上衣和裤子的时间比是1：
1，若三服装厂兼并,试建立数学模型，设计兼并后各厂的生产计划。
设甲，乙，丙月生产上衣能力分别为a1,a2,a3,月生产裤子能力分别为
b1,b2,b3,每月用于生产上衣的时间百分比分别为：
x1,x2,x3.（0≤x1,x2,x3≤1）
则由于上衣数须等于裤子数，所以
a1×
x1+a2×
x2+a3×
x3=b1×
（1-x1）+b2×
（1-x2）+b3×
（1-x3）
好的生产计划是确保成衣总数t=a1×
x2+a3×
x3最大。
由a1×
x1+a2×
x3=b1×
（1-x1）+b2×
（1-x2）+b3×
（1-x3），
x3可用x1,x2表示：
x3=c×
x1+d×
x2+e；
t也可用x1,x2表示：
t=m×
x1+n×
x2+l.
原模型归结为：
maxt=m×
x2+l0≤c×
x2+e≤10≤x1,x2≤1
甲，乙两种零件可在铣床，六角车床，自动机床上加工。
每台铣床单位工作日可加工甲15
个，或乙20个。
每台六角车床单位工作日可加工甲20个，或乙30个。
每台自动机床单位工
作日可加工甲30个，或乙55个。
现有3台铣床，3台六角车床，1台自动机床，试确定加工方案，使得成套产品数最多。
直线，线性规划
7.越江隧道内既是交通拥挤地段,又是事故易发地段,为了保证安全,交通部门规定,隧道内的车距d正比于速度v（公里/小时）的平方与车身长（L米）的积,且最小的车距不得少于半个车身长.在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可是隧道的车流量最大?
假设交通繁忙时，车流是均匀的。
车流量由相继开出隧道的两车时间间隔t决定的，t越小，车流量越大。
t
d
求出t的最小值及相对应的车速v
是否v越大车流量越大，车流量与k的关系如何？
知识点：
分段函数，函数极值
8.有A,B两家企业生产桶装矿泉水.市场价P（元/每桶）与消费者需求量Q（万桶）间的关系:
P=30-Q/50.最初只有A一家生产,后来B发现有利可图,也加入生产的行列.试建立数学模型描述桶装矿泉水市场。
假设A，B两企业都本着利润最大化原则决定各自产量。
为了简化，假设桶装矿泉水生产成本为0。
假设A开始产量为a,则市场价P为30-a/50
利润Pa=a（30-a/50）,当a=750（万桶）时Pa最大，此时P=15（元/每桶）
设B进入市场时决定产量为b,则市场价P为30-（750+b）/50
利润Pb=b（30-（750+b）/50）,当b=375（万桶）时Pb最大，此时P=7.5（元/每
桶）
然后，A必将调整自己的产量，假设A产量为a,则市场价P为
30-（375+a）/50，利润Pa=a（30-（375+a）/50）,当a=562.5（万桶）时Pa最
大，此时P=11.25（元/每桶）
同理，B将调整自己的产量。
直到市场稳定，A,B不再调整自己的产量。
设此时，A,B的产量分别为a,b
则Pa=a（30-（a+b）/50）,为了利润最大，a=750-b/2（I）Pb=b（30-（a+b）/50）,为了利润最大，b=750-a/2（II）由（I）,（II）,解得a=b=500,此时市场价为10
（1）如果A,B结成联盟，市场将如何变化？
（2）如果第三家企业C进入市场，市场将如何变化？
二次函数，函数极值
9.上海市出租车现行收费制度（6：
00～23：
00）为3公里起步价10元、每公里2
元，并且10公里以上每公里3元。
一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。
可现在，这种乘客越来越少见了。
请问适当换车真的省钱吗？
建立数学模型解释上述现象。
假设堵车不发生，则平均每公里费用p与公里数x关系如下：
p10
p-x图像如下：
当x=10时，p取得最小值，当x<
10时，p是x的减函数，当x>
10时，p是x的增函数，但却一直小于3.
当x≤10时，不换车；
当x=10n时（n是大于1的整数），每隔10
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