九年级圆基础知识点圆讲义Word文件下载.docx
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注意：
同圆或等圆的半径相等．
二、弦和弧
1.弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦．
2.直径：
经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．
3.弦心距：
从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4.弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．
5.等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
6.半圆：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
7.优弧、劣弧：
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
8.弓形：
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
三、圆心角和圆周角
1.圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2.圆周角：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
3.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
推论3：
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
板块二：
圆的对称性与垂径定理
一、圆的对称性
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．
2.圆的中心对称性：
圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
3.圆的旋转对称性：
圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．
二、垂径定理
1.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2.推论1：
⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3.推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
练习题；
1.判断：
（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
（）
（2）半圆是弧，弧是半圆。
（）
（3）等圆是半径相等的圆。
（）（4）等弧是弧长相等的弧。
（5）半径相等的两个半圆是等弧。
（）（6）等弧的长度相等。
2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大
3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）
5、如下图，
（1）若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；
线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；
______是劣弧；
______是半圆．
（2）若∠A=40°
，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．
5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．
6．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．
7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°
，∠BOC等于（）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
8、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．
9．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．
A．CE=DEB．C．∠BAC=∠BADD．AC>
AD
（5）
（1）
（2）（3）（4）
10．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）
A．4B．6C．7D．8
11．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）
A．AB⊥CDB．∠AOB=4∠ACDC．D．PO=PD
12．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．
13．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；
最长弦长为_______．
14（、深圳南山区，3分）如图1－3－l，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.
15．如果两个圆心角相等，那么（）
A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D．以上说法都不对
16（、大连，3分）如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°
则∠BOC的大小是（）
A．60○B．45○
C．30○D．15○
三、综合题
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°
，求弦CD长．
3、已知：
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°
，求∠C及∠AOC的度数．
板块三：
点与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：
点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
设的半径为，点到圆心的距离为，则有：
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内.
如下表所示：
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
点在的外部.
点在圆上
点在圆周上
点在的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
点在的内部.
二、确定圆的条件
1.圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：
①圆心（定点），确定圆的位置；
②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定．
2.过已知点作圆
⑴经过点的圆：
以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
⑵经过两点的圆：
以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：
若这三点共线时，过三点的圆不存在；
若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
⑷过个点的圆：
只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3.定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：
⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
板块四：
直线和圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
相离
直线与圆没有公共点.
直线与相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.
直线与相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.
直线与相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
公共点个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
二、切线的性质及判定
1.切线的性质：
定理：
圆的切线垂直于过切点的半径．
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2.切线的判定
定义法：
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：
和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3.切线长和切线长定理：
⑴切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
三、三角形内切圆
1.定义：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2.多边形内切圆：
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
1、如图，中，，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。
求证：
是的切线。
2、如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，过上点的直线，若且，则。
3、如图⊿ABC中∠A＝90°
，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：
DE是
⊙O的切线。
8如图，在中，是的中点，以为直径的交
的三边，交点分别是点．的交点为，且，
．
E
A
D
G
B
F
C
O
M
（1）求证：
（2）求的直径的长．
7如图（18），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，
以为直径的圆过点．若点的坐标为，，A、B两点的
横坐标，是关于的方程的两根．
（1）求、的值；
（2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式；
（3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、．则的是否为定值？
若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
y
x
图（18）
N
l
7解：
（1）以为直径的圆过点，，而点的坐标为，
由易知，，
即：
，解之得：
或．，，
图（3）
（0，2）
即．由根与系数关系有：
，
解之，．
（2）如图（3），过点作，交于点，
易知，且，
在中，易得，
，，
又，有，，
，则，即，易求得直线对应的一次函数解析式为：
．
解法二：
过作于，于，由，求得
又求得．即，易求直线解析式为：
（3）过点作于，于．为的平分线，．
由，有由，
有，即．
8
（1）连接是圆直径，，即
，．．在中，．2分
（2）是斜边的中点，，，
又由
（1）知，．
又，与相似4分
又，
，，设，，，
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