二重积分的概念与性质Word文档格式.docx

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引入：

在§

5.1中求曲边梯形的面积,我们采用分割,近似代替,作和,取极限的方法得到面积A=，并将上述方法归结为微元法.下面我们将这种思想方法推广到平面区域D上的二元函数f（，y）.

问题1求曲顶柱体的体积

问题2求平面薄板的质量

问题

（1）与

（2）都归结为求形如的极限问题,将它们的共同点加以抽象,便可概括出下述二重积分的定义.

定义设二元函数f（，y）在有界闭区域D上定义.将D任意分成n个小闭子区域，其中∆σi表示第i个小闭区域,也表示它的面积;

在每个∆σi上任取一点（ξi,ηi）,作乘积f（ξi,ηi）∆σi（i=1,2,…,n）,并作和.如果当各小闭区域的直径的最大值λ趋于零时,这和式的极限总存在,且极限值与区域D的分法及∆σi中的代表点（ξi,ηi）的取法无关，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作,即

.

其中f（，y）叫做被积函数,f（，y）叫做被积表达式,叫做面积元素,与y叫做积分变量,D叫做积分区域.

如果二重积分存在,则称函数f（,y）在区域D上是可积（分）的.

二重积分的定义两点说明.

（1）二重积分dσ表示一个数，它由被积函数和积分区域唯一确定，并且与积分变量所选用的字母无关.即dσ=dσ.

（2）根据二重积分的定义，要判断f（x,y）在D上是否可积,必须考察区域的所有可能的分划和代表点（ξi,ηi）的选取.也就是说，只有积分和的极限的存在且其极限值与分法无关,并与每一个∆σi的代表点（ξi,ηi）的选取无关时，才能肯定f（x,y）在D上可积.特别，在直角坐标系中，可以把面积元素dσ记作dxdy,把二重积分记作dxdy，即dxdy=dσ.

根据二重积分的定义,曲顶柱体体积V和平面薄片质量M可分别表示为

V=和M=.

二重积分的几何意义是:

当D上的连续函数f（x,y）0时,等于曲面z=f（x,y）在区域D上所对应的曲顶柱体的体积.当在D上f（x,y）≤0时,相应的曲顶柱体就在xOy平面的下方,二重积分就等于该曲顶柱体体积的负值.如果f（x,y）在D的某些子区域上是正的,而在其余子区域上是负的,那么二重积分就等于这些子区域上相应的曲顶柱体体积的代数和.

特别地可表示区域D的面积S，即S＝.

问题:

“满足什么具体条件什么样的函数才是关于二重积分可积的？

”“什么样的常见函数是关于二重积分可积的？

”

定理1（二重积分可积的必要条件）若函数f（x,y）在有界闭区域D上可积，则f（x,y）在D上有界.

定理1表明，有界闭区域D上的无界函数在D上不可积.

定理2（二重积分可积的充分条件）若函数f（x,y）在有界闭区域D上连续，则f（x,y）在D上可积.

（二）二重积分的性质

性质1被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

.

性质2函数和的积分等于各函数积分的和,即

综合性质1、2有

性质3若积分区域D分为D1与D2两个子区域,且Ｄ１与Ｄ２无公共内点,则

这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性.

性质4如果在D上，f（,y）≥0，则

≥0.

由性质2与性质4知,若在D上，f（,y）≤g（,y）则

≤.

特别地，由于—,

又有.

性质5设M和m分别为f（,y）在D上的最大值和最小值,S是D的面积,则

mS≤≤MS.

用这个性质可估计二重积分值的范围.

性质6（积分中值定理）设函数f（,y）在有界闭区域D上连续，S是D的面积,则在D上至少存在一点（ξ,η），使得

=f（ξ,η）S.

积分中值定理的几何意义是：

如果区域D上的连续函数f（x,y）0，那么在D上以曲面z=f（,y）为顶的曲顶柱体的体积,等于区域D上以某一点（ξ,η）的函数值f（ξ,η）为高的平顶柱体的体积.

例1估计二重积分的值,其中D为圆形闭区域2+y2≤1.

9.2二重积分的计算法

1、理解掌握二重积分的计算公式，掌握化二重积分为累次积分来计算的方法；

（1）在直角坐标系下计算二重积分的方法；

（2）在极坐标系下计算二重积分的方法；

2、了解二重积分的换元法。

二重积分转化为累次积分来计算的方法。

二重积分化为累次积分计算时对积分区域的分割方法、积分次序的选取、累次积分上、下限的确定。

二重积分计算因其“二重”—变量多了一个而显得很困难.如何来化解这个难点呢？

数学的转化思想方法告诉我们，应该把二重积分转化为定积分来计算.实即逐次分别对两个变量求定积分.下面介绍如何把二重积分转化为累次积分计算的方法.

（一）、在直角坐标系下计算二重积分

假定z=f（x,y）在区域D上非负连续.

设积分区域D在x轴上的投影区间为[a，b]，上、下边界分别为曲线y=φ2（x）、y=φ1（x）.称区域D为X-型区域.显然D={（,y）|φ1（）≤y≤φ2（），a≤≤b},其中函数φ1（x）、φ2（x）在区间［a，b］上连续.

曲顶柱体的体积可表示为

.（9.2.1）

类似地,如果积分区域D表示为Y-型区域

D={（,y）|ψ1（y）≤≤ψ2（y）,c≤y≤d},

其中函数ψ1（y）、ψ2（y）在[c,d]上连续,那么就有

==,（9.2.2）

注：

1、公式（9.2.1）和（9.2.2）对闭区域上的一般的连续函数f（x,y）都成立.

2、如果积分区域既可看成X-型区域又可看成Y-型区域且f（x,y）连续,这时二重积分可以表示成两种不同次序的二次积分，即

3、一般区域上的二重积分,通常是将区域D分成若干个除边界外无公共点的子区域,使每个子区域都是X-型区域或Y-型区域，便可利用重积分对区域的可加性求得二重积分.

4、在计算二重积分时，究竟采取何种积分次序,应根据积分区域D及被积函数f（x,y）的特点来选用适当的积分次序的方法.

例1计算,其中D是直线2+y=2与坐标轴围成的区域.

例2计算,其中D是由抛物线y2=2与直线y=-4所围成的区域.

例3计算I=,其中D由曲线y=,=1,y=2围成.

例４计算二重积分.

例５求两个底圆半径等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.

概括二重积分的计算方法与步骤：

（１）画出积分区域D的图形,并把D划分成若干个X-型或Y-型子区域之并;

对每个X-型或Y-型子区域确定其边界曲线方程,并用联立不等式的形式表示,为确定累次积分的积分限作准备.

（２）适当选择积分次序,一是根据积分区域D的特点,对D划分的块数越少越好;

二是根据被积函数f（x,y）的特点,使第一次积分容易积出,并能为第二次积分的计算创造有利条件.

（３）把二重积分写成累次积分形式,关键是根据（１）确定的不等式给出积分的上下限.

（４）计算累次积分.即先对二元函数f（x,y）的一个变量求定积分,这时另一个变量看作常数,然后将所得结果对另一变量求定积分.

（二）、在极坐标系下计算二重积分

变量f（,y）从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式：

（9.2.3）

这时应注意在上式的右边区域D要用极坐标形式表示.

1、如果积分区域D由射线θ=α,θ=β，曲线r=r1（θ）,r=r2（θ）（α﹤β,r1≤r2）所围成,则称D是θ-区域,它的极坐标表示为

D=﹛（r,θ）|r1（θ）≤r≤r2（θ）,α≤θ≤β}

于是二重积分化为累次积分

.（9.2.4）

2、如果上述曲线r=r1（θ）退缩为一点,即r1（θ）=0,这时D可以表示为:

D=﹛（r,θ）|0≤r≤r（θ）,α≤θ≤β},

于是

.（9.2.5）

3、如果积分区域D极点在D的内部D可以表示为

D=﹛（r,θ）|0≤r≤r（θ）,0≤θ≤2π﹜,

.（9.2.6）

例6计算I1=,其中D1为圆2+y2=R2所围成的区域.

例7求2+y2+z2=R2被圆柱面2+y2=R所截得的（含于圆柱面内）立体的体积（图9-2-15）.

例8设D是由闭曲线（x2+y2）3=a2（x4+y4）（a﹥0）所围成的区域（图9-2-16）,求D的面积A.

一般地,如果积分区域是圆域，扇形域或圆环形域，或被积函数是f（2+y2）,，等形式,可采用极坐标来简化二重积分的计算.

此外,利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性也可简化二重积分的计算.这时应注意:

积分区域与被积函数应需同时满足相应的条件.

（三）、二重积分的换元法

二重积分的变量变换要解决的两个问题：

一是积分区域的变换问题，二是被积分表达式的变换问题.特别是面积元素d的变换问题.

一般地，称关系式

T:

x=x（u,v）,y=y（u,v）（9.2.7）

为uOv平面到xOy平面的一个变换.

定理设z=f（x,y）在xOy平面上的闭正域D上连续，变换

T：

x=x（u,v）,y=y（u,v）（9-2-8）

将uOv平面上的闭区域D变换为xOy平面上的闭区域D，且满足

（1）x（u,v）,y（u,v）在D上的一阶偏导数连续；

（2）在D上的雅可比行列式不为0，即

J（u,v）===·

-·

0；

（3）变换T：

DD是一对一的，

则有

|J（u,v）|dudv（9-2-9）

公式（9-2-9）称为二重积分的换元公式.

如果雅可比行列式在D的个别点处或者某条曲线上为零，而在其他点处均不等于零，则公式（9-2-9）仍成立.

在变换为极坐标x=rcos,y=rsin的特殊情形下，雅可比式

J＝＝＝rcos2+rsin2=r,

它仅在r=0处为零，故不论闭区域D是否含有极点，换元公式仍成立，即有

＝rdrd

这里D是D在直角坐标平面rO上的对应区域.

例9，计算dxdy，其中D是由x=0,y=0,x+y=1所围成的闭区域.

例10计算dxdy，其中D是两条双曲线xy=1和xy=2，直线y=x和y=4x所围成的在第Ⅰ象限内的闭区域.

例11，计算dxdy，其中D={（x,y）:

1}.

9.3三重积分

1、理解三重积分的概念；

2、理解并掌握三重积分的计算方法

（1）在直角坐标系下计算三重积分；

（2）在柱面坐标系下计算三重积分；

（3）在球面坐标系下计算三重积分；

3、发展学生的空间想象能力和用化归法解决问题的能力。

三重积分在三种坐标系下的计算方法。

积分区域图形的确定与三重积分的计算技巧。

（一）、三重积