非线性电路试验复旦大学物理教学试验中心Word文档格式.docx

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它的运行状态可以用以下方程组来描述：

（1）

其中U1为C1（或负阻Nr）两端的电压，U2为C2（或L）两端的电压，IL为通过L的电流，g（U）为非线性负阻的I-V特性函数，其表达式为：

（2）

式中各参数和变量的具体意义间图3。

从g（U）的表达式看出，g（U）分三段，且每段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。

由于两侧区间基本对称，可以一并求解。

图1：

蔡氏电路示意图

U1、U2、IL构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为。

混沌实验仪中一般演示X点的相轨迹在U1-U2平面的二维投影，可用双踪示波器的X-Y模式来观察，即常说的李萨如图形。

在每个区间内，方程

（1）都可以改写成如下形式的线性方程：

（3）

其中X（t）、b为三维矢量，A为三阶矩阵。

方程（3）在时的解即为相空间的不动点XQ，。

原方程组的解即可写为线性齐次方程的通解与不动点特解XQ的和。

方程（3）的本征值方程为|λI-A|=0，若A存在三个本征值λ1、λ2、λ3，齐次方程的解即为：

（4）

其中ξi为λi对应的本征向量，ci由初始状态X0决定。

在有些情况下，A有一个实本征值γ和一对共轭的复本征值σ±

iω，方程的解可以写成：

（5）

式中ξγ是实本征值对应的本征向量，ηr±

iηi是共轭的复本征值对应的本征向量。

c、cr、cc由初始状态决定。

综上所述，蔡氏电路方程组的解为：

（6）

我们把实本征向量ξγ方向标记为Er，把ηr和ηi张成的平面记为Ec。

齐次方程解的独立分量xr（t）在Er方向，xc（t）在平面Ec内。

方程的解随着时间演化具有如下性质：

如果γ<

0，xr（t）指数衰减到0；

如果γ>

0，xr（t）沿着Er方向指数增长。

由此可见，对于任何一条相轨迹X（t），Er方向上的分量恒正或恒负，所以它始终都无法穿越Ec平面（图1、2）。

如果σ>

0且ω≠0，则xc（t）在Ec平面内螺旋离开不动点XQ；

若σ<

0，xc（t）在Ec平面内螺旋收缩到不动点XQ。

这些性质在进行每个区域分析时都非常有用。

非线性负阻的结构[9]如图2所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算放大器集成电路FL353N）和6个定值电阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）构成，输入电源电压±

15V。

理想的非线性负阻具有如图3所示的I-V特性，被±

E拆分为上中下三个区域，在各个区域都是线性函数，分段函数的斜率依次为Gb、Ga、Gb，且满足Ga<

Gb<

0。

由运算放大器电路的参数可计算[12]出Ga=-1/R1-1/R4=（-7.6±

0.1）×

10-4Ω-1，Gb=1/R3-1/R4=（-4.09±

0.06）×

10-4Ω-1。

图2：

非线性负阻的内部结构

图3：

理想非线性负阻I-V特性（示意图）

实验内容

一、各种混沌现象的观测

用图1所示的方法，调节可调电阻R，观察单周期、双周期、阵发混沌、三周期、单吸引子、双吸引子等相图，并记录各种相图对应的U1,U2的信号特点。

二、测量非线性负阻的I-Ｖ特性

1、用如图4所示的方法，用信号发生器驱动，分别在30Hz，300Hz和3.3kHz等频率测量非线性负阻的I-V特性，讨论不同频率时I-V曲线的特点。

图4：

外部信号扫描测量I-V特性电路图

2、用图5所示的方法：

在电路中接入一个r=100Ω的采样电阻，非线性负阻两端的电压U1仍在CH1端测量，用CH2端输出的r两端的电压代替电流信号来记录I-V曲线，实验时利用蔡氏电路自身的振荡信号代替信号发生器的输入。

CH1和CH2的信号输入另一双踪示波器观察非线性电路的二位相图，记录电路出现各种混沌状态时的I-V曲线。

3、比较上述两种方法得到的I-V曲线的异同，并讨论原因。

4、分析第二种方法得到的结果，并解释相图和I-V曲线之间的关联。

图5：

内置信号扫描测量I-V特性电路图

5、（选做）用伏安法测量非线性负阻的I-V曲线，分析得到的结果。

三、（选做）元件参数测量和非线性方程的求解

1、用万用表测量电路中的电容、电感的值。

（有兴趣的同学可查阅万用表测电容、电感的原理。

）

2、用函数信号发生器作电源，用伏安法测量电容、电感的值，讨论电流、频率不同时，测量结果的变化。

注意：

实际有铁芯电感的等效模型为一个理想电感和一个损耗电阻的组合。

3、用高精度的LCR表测量各个元件的参数。

4、用实际测得的实验参数求解非线性方程组

（1），找出不同条件下的不动点，分析不动点的稳定性和解的特点。

四、（选做）C调制

设计实验方法，实现用电容C的调节了得到各种混沌相图，并讨论G调制和C调制得到的相图的不同。

五、（选做）数值模拟

1、采用四阶Runge-Kutta法求解方程组

（1），画出各种相图。

2、用FFT法分析各种相图时时域型号的频率特性。

3、绘制U1随R变化的分岔图，得出单周期、双周期等混沌状态时的R值，和实验观察的结果进行比较。

六、（探索）混沌保密通讯

阅读文献，了解混沌通讯的原理和实现方法，从实验上实现两台混沌实验仪的信号同步，并完成混沌保密通讯的原理演示实验。

七、（探索）分形

用计算机编程得到各种分形图形。

思考题

1、非线性系统的动力学行为的特点有哪些？

2、一个自治的非线性系统至少包含哪些元件？

各起什么作用？

3、将非线性负阻直接接到一个电阻两端，随着外接电阻阻值的改变，电阻上的电压和电流之间会有什么关系？

有兴趣的同学可以进行实验测量，并解释得到的结果。

4、怎样求解非线性方程组？

什么是Runge-Kutta法？

5、G调制和C调制有什么不同？

参考文献

[1]JamesGleick,张淑誉,郝柏林.混沌开创新科学[M].北京:

高等教育出版社,2004年.

[2]L.O.Chua.NonlinearCircuits[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems.CAS-31

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[3]P.R.Hobson,A.N.Lansbury.Asimpleelectroniccircuittodemonstratebifurcationandchaos[J].PhysicsEducation,31,1993:

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[5]J.H.Lu,G.R.Chen.GeneratingMultiscrollChaoticAttractors:

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[8]冯朝文,蔡理,康强.基于单电子器件的混沌电路研究[J].ACTAPHYSICASINICA物理学报,57（10）,2008:

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[9]1王珂,田真,陆申龙.非线性电路混沌现象实验装置的研究[J].实验室研究与探索,4,1999:

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[10]2许巍，熊永红，李定国等.基于LabVIEW数据采集系统的混沌电路实验[J].物理实验,29

（2）,2009:

20-22

[11]3刘兴云,鲁池梅,程永山.基于虚拟仪器三维多涡卷混沌电路的研究[J].大学物理,27（6）,2008:

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[12]M.P.Kennedy.ThreestepstochaospartⅡ:

Achua'

scircuitprimer[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems,40（10）,1993:

657-674.

实验资料

1、复旦天欣科教仪器有限公司：

NCE-2型非线性电路混沌实验仪产品说明书。

2000.2

2、上海新建仪器设备有限公司：

XJ4400系列数字存储示波器

课外阅读：

非线性科学概要——为《非线性物理概论》一书写的序言

汪秉宏

上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。

牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。

当深入到微观尺度（<

10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（～1010cm/s），则相对论是正确的。

非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。

非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。

它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。

非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，恰恰相反，刚好说明它具有广泛的应用性。

从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。

非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：

混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和