届苏教版空间向量与立体几何单元测试8Word文件下载.docx
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12.如下图，
已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M是PC的中点．
（1）求BP与DM所成的角的大小；
（2）求二面角M—DA—C的大小．
13.空间中的点和平面中的点有何区别？
14.E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中线段A1D，AC上的点，且DE＝AF＝AC.
求证：
（1）EF∥BD1；
（2）EF⊥A1D.
15.如下图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．试写出正方体八个顶点的坐标．
16.如图，已知ABCD是上，下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，
证明：
AC⊥BO1.
17.在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为C′G的中点．
（1）求EF，C′G所成角的余弦值；
（2）求FH的长．
18.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1NNC＝1:
3.
（1）若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
（2）若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
19.如下图，
在圆锥PO中，已知PO＝，⊙的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点．
（1）证明：
平面POD⊥平面PAC；
（2）求二面角B－PA－C的余弦值．
20.如下图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
（1）用a，b，c表示向量，.
（2）设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
答案解析
1.【答案】
【解析】如下图，
＝（＋），＝，·
＝（·
＋·
）
＝（cos60°
＋cos60°
）＝.
2.【答案】
（1，0，0）， （1，0，1） ，（－1，1，－1）
【解析】
3.【答案】13
（2a－b）·
a＝2a2－b·
a＝2|a|2－|a||b|cos120°
＝2×
4－2×
5×
（－）＝13.
4.【答案】
【解析】＝（－1，2－y，z－3），由于l经过A，B两点，所以u∥，故＝＝，解得y＝，z＝.
5.【答案】60°
【解析】由条件，知·
＝0，·
＝0，
＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＋2·
＝62＋42＋82＋2×
6×
8cos〈，〉＝
（2）2.
∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°
，
∴二面角的大小为60°
.
6.【答案】
【解析】＝－＝（＋）－（＋）＝－，
即＝.
7.【答案】
（18，17，－17）
【解析】设B（x，y，z），＝（x－2，y＋1，z－7）
＝λ（8，9，－12），λ>
0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又（x－2）2＋（y＋1）2＋（z－7）2＝342，得（17λ）2＝342，∵λ>
0，∴λ＝2.
∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B（18，17，－17）．
8.【答案】－a＋b－c.
【解析】＝＋＝＋（－）
＝－＋－＝－c＋b－a.
9.【答案】充分不必要
【解析】a·
b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．
10.【答案】
【解析】设p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，
则p＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，
又p＝a＋2b＋3c，
∴，∴x＝，y＝－，z＝3.
∴p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为.
11.【答案】连结AG并延长，交BC于H.由题意可知，以{，，}为基底，
＝＝（＋）＝＋×
＝＋×
＝＋（－）＋（－）
＝＋＋，
又点D，E，F，M共面，由共面向量定理得存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，－＝λ（－）＋μ（－），
＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）m＋λn＋μt，
由空间向量基本定理知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt，
所以＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值．
12.【答案】
（1）建系如下图，由已知得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），
M.
设直线BP与DM所成的角为θ.
∵＝（－a，0，a），
＝，
∴·
＝0.
∴BP与DM所成的角的大小为θ＝90°
（2）∵＝（0，0，a），＝（a，0，0），＝（0，a，0），
＝（－a，0，a），
又由
（1）知·
∴是平面MDA的法向量，是平面ABCD的法向量，则cos〈，〉＝＝.
∴所求的二面角M—DA—C的大小为45°
13.【答案】1、位置不同平面中的点在平面中，空间中的点在立体空间中；
2、表示方法不同平面中的点用二维平面直角坐标系的有序数对表示，空间中的点用三维空间直角坐标系中的有序数对表示。
14.【答案】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，连结DF，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（，0，）
又＝＋，可得F（，，0）.∵＝（，，－），
＝（－1，－1，1）＝－3，∴∥，又F不在BD1上，∴EF∥BD1.
（2）∵＝（－1，0，－1），·
＝（，，－）·
（－1，0，－1）＝0，
∴⊥，即EF⊥A1D.
15.【答案】设i，j，k分别是与x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位坐标向量．
因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝.
由于点B在x轴的正半轴上，所以＝i，即点B的坐标为（，0，0）．
同理可得C（0，，0），D（－，0，0），A（0，－，0）．
又＝＋＝i＋2k，所以＝（，0，2）．
即点B1的坐标为（，0，2）．
同理可得C1（0，，2），D1（－，0，2），A1（0，－，2）．
16.【答案】证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB.故可以O为原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示．
则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，），
O1（0，0，），从而＝（－3，1，），＝（0，－3，），
因为·
＝－3＋·
＝0，所以AC⊥BO1.
17.【答案】设＝a，＝b，＝c，
则a·
b＝b·
c＝c·
a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.
（1）∵＝＋＝－c＋（a－b）
＝（a－b－c），
＝＋＝－c－a，
＝（a－b－c）·
（－c－a）
＝（－a2＋c2）＝，
||2＝（a－b－c）2＝（a2＋b2＋c2）＝，
||2＝（－c－a）2＝c2＋a2＝，
∴||＝，||＝，
cos〈，〉＝＝，
所以EF，C′G所成角的余弦值为.
（2）∵＝＋＋＋
＝（a－b）＋b＋c＋
＝（a－b）＋b＋c＋（－c－a）
＝a＋b＋c，
∴||2＝（a＋b＋c）2
＝a2＋b2＋c2＝，
∴FH的长为.
18.【答案】
（1）正方形ABCD中，AB＝6，∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3.
∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），G1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）．
（2）同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）．
19.【答案】
（1）如下图所示，
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（－1，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），D（－，，0）．
设n1＝（x1，y1，z1）是平面POD的一个法向量，则由n1·
＝0，n1·
得
所以z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝（1，1，0）．
设n2＝（x2，y2，z2）是平面PAC的一个法向量，则由n2·
＝0，n2·
＝0，得
所以x2＝－z2，y2＝z2，取z2＝1，得n2＝（－，，1）．
因为n1·
n2＝（1，1，0）·
（－，，1）＝0，所以n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.
（2）因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3＝（0，1，0）．由
（1）知，平面PAC的一个法向量为n2＝（－，，1）．
设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.
由图可知，二面角B－PA－C的平面角与θ相等，所以二面角B－PA－C的余弦值为.
20.【答案】
（1）＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a.
（2）＝＋＝－＋＝－（＋）＋（＋）
＝－（a＋b＋c＋b）＋（a＋b＋c＋c）＝（c－b）
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