山西省长治二中康杰中学忻州一中等五校届高三摸底考试数学理试题Word文档格式.docx

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C.

D．25

5.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：

北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）

6.已知函数

的最大值为

的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与

轴的交点的纵坐标为1，则

A．1B．

7.执行如图所示的程序框图，若输入

，则输出的

A．80B．84C.88D．92

8.设

满足约束条件

的最大值为（）

A．1B．3C.5D．6

9.在长方体

中，

，点

在平面

内运动，则线段

的最小值为（）

10.某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：

甲说胡老师不是上海人，是福州人；

乙说胡老师不是福州人，是南昌人；

丙说胡老师不是福州人，也不是广州人.

听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师（）

A．一定是南昌人B．一定是广州人C.一定是福州人D．可能是上海人

11.设双曲线

的左、右焦点分别为

，过

作

轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为

，已知

是双曲线

右支上的动点，且

恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）

12.已知

，若对任意的

，不等式

恒成立，则

B．3C.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量

．

14.在

三个盒子中各有编号分别为1，2，3的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为．

15.在等差数列

成等比数列，则公差

16.已知

为曲线

上任意一点，

的最大值是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.

的内角

所对的边分别是

.

（1）求

；

（2）若

的面积为

，求

18.某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为

），并将分数从低到高分为四个等级：

满意度评分

满意度等级

不满意

基本满意

满意

非常满意

已知满意度等级为基本满意的有340人.

（1）求表中

的值及不满意的人数；

（2）在等级为不满意的师生中，老师占

，现从该等级师生中按分层抽样抽取12人了解不满意的原因，并从中抽取3人担任整改督导员，记

为老师整改督导员的人数，求

的分布列及数学期望.

19.如图，在多面体

中，四边形

是正方形，在等腰梯形

，平面

平面

（1）证明：

（2）求二面角

的余弦值.

20.已知圆

，某抛物线的顶点为原点

，焦点为圆心

，经过点

的直线

交圆

于

两点，交此抛物线于

两点，其中

在第一象限，

在第二象限.

（1）求该抛物线的方程；

（2）是否存在直线

，使

是

与

的等差中项？

若存在，求直线

的方程；

若不存在，请说明理由.

21.已知函数

的图象在点

处的切线方程为

（1）求曲线

在

处的切线方程；

（2）若存在

，满足

的取值范围.

22.已知直线

的参数方程为

为参数），在以坐标原点

为极点，

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

的极坐标方程为

（1）求直线

的普通方程和曲线

的直角坐标方程（化为标准方程）；

（2）设直线

与曲线

交于

两点，求

23.已知函数

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

ADBCB6-10:

DACCD11、12：

BA

二、填空题

13.

14.

15.316.8

三、解答题

17.解：

（1）由已知

结合正弦定理得

所以

即

，亦即

因为

，所以

（2）由

，得

，即

又

，又

，∴

18.解：

（1）由频率分布直方图可知：

设不满意人数为

则

解得

（2）按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，

的可能取值为0，1，2，3，

的分布列为：

1

2

3

故

19.

（1）证明：

如图，取

的中点

，连接

，因为

所以四边形

为平行四边形，

，所以四边形

为菱形，从而

同理可证

，因此

由于四边形

为正方形，且平面

，从而

，故

（2）解：

由

（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系

，设

为平面

的一个法向量，

，故可取

易知二面角

为锐角，则二面角

的余弦值为

20.解：

（1）

可化为

根据已知设抛物线的方程为

∵圆心

的坐标为

，解得

∴抛物线的方程为

（2）∵

的等差中项，圆

的半径为2，∴

∴

由题知，直线

的斜率存在，故可设直线

的方程为

设

由

∵

∴存在满足要求的直线

，其方程为

或

21.解：

（1）由

，故所求切线方程为

（2）

所以问题转化为

上有解，

令

从而

，即函数

上递减，

因此，

要使

有解，必须有

的取值范围为

22.解：

（1）直线

的普通方程为

曲线

的直角坐标方程为

（2）直线

的极坐标方程是

，代入曲线

的极坐标方程得：

不妨设

23.

（1）证明：

（*），

①当

时，不等式（*）无解，

②当

时，不等式（*）可化为

综上所述，