版高中数学 第三章 指数函数对数函数和幂函数 312 第2课时 指数函数的图象与性质的Word文件下载.docx

版高中数学 第三章 指数函数对数函数和幂函数 312 第2课时 指数函数的图象与性质的Word文件下载.docx

《版高中数学 第三章 指数函数对数函数和幂函数 312 第2课时 指数函数的图象与性质的Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学 第三章 指数函数对数函数和幂函数 312 第2课时 指数函数的图象与性质的Word文件下载.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．

2．对于y＝m（ax）2＋n（ax）＋p（m≠0）这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．

[再练一题]

1．

（1）函数f（x）＝＋的定义域为________.

（2）求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．

【解析】　

（1）由得－3<

x≤0.

所以函数的定义域是（－3,0]．

【答案】　（－3,0]

（2）y＝4－x－21－x＋1＝2x－2·

x＋1＝2，

∵x∈[－3,2]，∴x∈，

令t＝x，得y＝（t－1）2，其中t∈，

∴y∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.

指数函数的应用题

　某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：

（1）试写出x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式；

（2）计算10年后该城市人口总数（精确到1万人）．

【精彩点拨】　本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N（1＋p）x表示．

【自主解答】　

（1）1年后城市人口总数为：

y＝100＋100×

1.2%＝100（1＋1.2%）．

2年后城市人口总数为：

y＝100×

（1＋1.2%）＋100×

（1＋1.2%）×

1.2%

＝100（1＋1.2%）2，

同理3年后城市人口总数为y＝100（1＋1.2%）3，

…

故x年后的城市人口总数为y＝100（1＋1.2%）x.

（2）10年后该城市人口总数为：

y＝100（1＋1.2%）10＝100×

1.01210≈100×

1.127≈113（万人）．

故10年后该城市人口总数约为113万人．

解决实际应用题的步骤

1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；

2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；

3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；

4．检验：

将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．

2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．

【解】　设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．

经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M（1＋4%）千克，人口数量为M（1＋1.2%）．

则人均占有粮食为千克，

经过2年后，人均占有粮食为

千克，

经过x年后，人均占有粮食为

y＝千克，

即所求函数解析式为

y＝360x（x∈N*）．

[探究共研型]

指数函数性质的综合应用

探究　通过指数函数y＝2x，y＝x的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？

【提示】　指数函数y＝ax（a>

0，且a≠1）的图象和性质

　已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<

0恒成立，求k的取值范围；

（3）求f（x）在[－1,2]上的值域．

【精彩点拨】　

（1）根据奇函数的定义，求出a，b.

（2）利用单调性和奇偶性去掉f解不等式求k的范围．（3）利用

（2）中单调性求f（x）的值域．

【自主解答】　

（1）∵函数y＝f（x）是定义域R上的奇函数，

∴

∴∴b＝1，a＝2.

（2）由

（1）知f（x）＝

＝－＋，

设x1，x2∈R且x1<

x2，

则f（x2）－f（x1）＝－＝<

0，

∴f（x）在定义域R上为减函数，

由f（t2－2t）＋f（2t2－k）<

0恒成立，

可得f（t2－2t）<

－f（2t2－k）＝f（k－2t2），

∴t2－2t>

k－2t2，∴3t2－2t－k>

∴Δ＝（－2）2＋12k<

∴k<

－.

（3）由

（2）知f（x）在R上单调递减，∴f（x）在[－1,2]上单调递减，

∴f（x）max＝f（－1）＝－＋＝，f（x）min＝f

（2）＝－＋＝－，∴f（x）的值域为.

与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值（值域）等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．

3．设a>

0，函数f（x）＝＋是定义域为R的偶函数．

（1）求实数a的值；

（2）证明：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

【解】　

（1）由f（x）＝f（－x）

得＋＝＋，

即4x＋＝0，

所以＝0，

根据题意，可得－a＝0，

又a>

0，所以a＝1.

（2）由

（1）可知f（x）＝4x＋，

设任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1<

x2，则

f（x1）－f（x2）＝4x1＋－4x2－

＝（4x1－4x2）.

因为0<

x1<

所以4x1<

4x2.

又x1＋x2>

所以4x1＋x2>

1，

所以1－＝>

所以f（x1）－f（x2）<

即f（x1）<

f（x2）．

于是知f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

复合函数的单调性

探究1　y＝2x的单调性如何？

y＝x＋1呢？

y＝2x＋1呢？

【提示】　y＝2x在R上单调递增，y＝x＋1在R上单调递增，y＝2x＋1在R上单调递增．

探究2　y＝x与y＝x＋1的单调性分别如何？

【提示】　y＝x单调递减，y＝x＋1单调递减．

探究3　y＝－x与y＝2－x的单调性如何？

【提示】　y＝－x单调递减，y＝2－x＝x单调递减．

探究4　由以上3个探究，我们可以对由y＝f（u），u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x））的单调性做出什么猜想．

【提示】　y＝f（g（x））可以由y＝f（u），u＝g（x）复合而成，复合而成的函数单调性与y＝f（u），u＝g（x）各自单调的关系为“同增异减”．即f与g单调性相同，复合后单调递增，f与g单调性不同，复合后单调递减．

探究5　用单调性的定义证明：

当y＝f（u），u＝g（x）均单调递减时y＝f（g（x））单调递增．

【提示】　任取x1，x2∈D且x1<

x2.

∵g（x）单调递减，∴g（x1）>

g（x2），即u1>

u2，

又f（x）单调递减，∴f（u1）<

f（u2），

即f（g（x1））<

f（g（x2）），

∴y＝f（g（x））单调递增．

　函数y＝的单调增区间为________，单调减区间为________，最大值为________．

【精彩点拨】　先确定u＝x2－4x的值域、单调性，再确定f（x）＝u的单调性和值域．

【自主解答】　令u＝x2－4x，则y＝u，

∵u（x）＝x2－4x在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增，故umin＝u

（2）＝－4，

又y＝u在R上单调递减，

∴y＝x2－4x在（－∞，2]上递增，在[2，＋∞）上递减，且ymax＝y

（2）＝－4＝16.

【答案】　（－∞，2]　[2，＋∞）　16

1．关于指数型函数y＝af（x）（a>

0，且a≠1），它由两个函数y＝au，u＝f（x）复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>

1还是0<

a<

1；

二是f（x）的单调性．

2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f（u），u＝φ（x），通过考查f（u）和φ（x）的单调性，求出y＝f（φ（x））的单调性，其规则是“同增异减”．

4．

（1）函数y＝2的单调增区间为________．

（2）讨论函数f（x）＝ax2－4x的单调性．

【解析】　

（1）设y＝2u，u＝，

【答案】　（－∞，0）

（2）设u＝x2－4x，则f（x）＝au，u＝x2－4x，

易知u＝x2－4x在（－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，

故当a>

1时，y＝au递增，故f（x）的单调增区间为（2，＋∞），单调减区间为（－∞，2），

当0<

1时，y＝au递减，故f（x）的单调增区间为（－∞，2），单调减区间为（2，＋∞）.

1．函数f（x）＝＋的定义域为________．

【解析】　令∴－5<

【答案】　（－5,0]

2．函数f（x）＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．

【解析】　x∈[－1,2]时，x∈，∴f（x）∈.

【答案】　

3．函数y＝3的单调递减区间是________．

【解析】　令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在（0，＋∞）上单调递减，所以y＝32－2x2的单调递减区间是（0，＋∞）．

【答案】　（0，＋∞）

4．若函数f（x）＝（k为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为________．

【解析】　依题意，

f（－x）＝＝－f（x）＝－，

即（2－x－k·

2x）（2x＋k·

2－x）＝（2－x＋k·

2x）·

（－2x＋k·

2－x），∴k2＝1，k＝±

1.

【答案】　±

1

5．设0≤x≤2，y＝4－3·

2x＋5，试求该函数的最值.

【解】　令t＝2x,0≤x≤2，∴1≤t≤4.

则y＝22x－1－3·

2x＋5＝t2－3t＋5.

又y＝（t－3）2＋，t∈[1,4]，

∴y＝（t－3）2＋在[1,3]上是减函数；

在t∈[3,4]上是增函数，

∴当t＝3时，ymin＝；

当t＝1时，ymax＝.

故函数的最大值为，最小值为.

XX文库是XX发布的供网友在线分享文档的平台。

XX文库的文档由XX用户上传 

，需要经过XX的审核才能发布，XX自身不编辑或修改用户上传的文档内容。

网友可以在线阅读和下载这些文档。

XX文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。

XX用户上传文档可以得到一定的积分，下载有标价的文档则需要消耗积分。

当前平台支持主流的doc（.docx）、.ppt（.pptx）、.xls（.xlsx）、.pot、.pps、.vsd、.rtf、.wps、.et、.dps、.pdf、.txt文件格式。

本文档仅用于XX文库的上传使用。