高中数学必修直线与方程知识点总结与练习Word格式.docx
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局限性
点斜式
过点(x0,y0),斜率为k
y-y0=k(x-x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k,纵截距为b
y=kx+b
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2,y1≠y2)
=
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)
+=1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A,B不全为0)
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)直线x+y+m=0(m∈k)的倾斜角为( )
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
解析:
选C 由k=tanα=-,α∈[0,π)得α=150°
2.(教材习题改编)已知直线l过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为( )
A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0
C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=0
选A 由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.
3.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( )
A.1B.4
C.1或3D.1或4
选A 由1=,得m+2=4-m,m=1.
4.(2012·
长春模拟)若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
答案:
4
5.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程为________.
由已知得直线l的斜率为k=-.
所以l的方程为y-2=-(x+1),
即3x+2y-1=0.
3x+2y-1=0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.
2.由斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;
二是要考虑正切函数的单调性.
3.用截距式写方程时,应先判断截距是否为0,若不确定,则需要分类讨论.
直线的倾斜角与斜率
典题导入
[例1]
(1)(2012·
岳阳模拟)经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=( )
A.-1 B.-3
C.0D.2
(2)(2012·
苏州模拟)直线xcosθ+y+2=0的倾斜角的范围是________.
[自主解答]
(1)tan===y+2,因此y+2=-=-3.
(2)由题知k=-cosθ,故k∈,结合正切函数的图象,当k∈时,直线倾斜角α∈,当k∈时,直线倾斜角α∈,故直线的倾斜角的范围是∪.
[答案]
(1)B
(2)∪
由题悟法
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤:
(1)求出斜率k=tanα的取值范围;
(2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.
2.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
以题试法
1.(2012·
哈尔滨模拟)函数y=asinx-bcosx的一条对称轴为x=,则直线l:
ax-by+c=0的倾斜角为( )
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
选D 由函数y=f(x)=asinx-bcosx的一条对称轴为x=知,f(0)=f,即-b=a,则直线l的斜率为-1,故倾斜角为135°
2.(2012·
金华模拟)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:
y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( )
B.(-∞,-2]
C.(-∞,-2]∪
选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1),如右图.若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB.
∵kPA=-2,kPB=,
∴-2≤k≤.
直线方程
[例2]
(1)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是________________.
东城模拟)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为______________.
[自主解答]
(1)设所求直线方程为x-2y+m=0,由直线经过点(1,0),得1+m=0,m=-1.
则所求直线方程为x-2y-1=0.
(2)由题意得,×
kMN=-1,所以kMN=2,故弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
[答案]
(1)x-2y-1=0
(2)2x-y-1=0
求直线方程的方法主要有以下两种:
(1)直接法:
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;
(2)待定系数法:
先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程.
3.(2012·
龙岩调研)已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程;
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.
解:
(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的连线.
因为线段AB,AC中点坐标分别为,,
所以这条直线的方程为=,
整理一般式方程为得6x-8y-13=0,截距式方程为-=1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3),所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即一般式方程为7x-y-11=0,截距式方程为-=1.
直线方程的综合应用
[例3] (2012·
开封模拟)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:
2x-y-2=0与l2:
x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.
[自主解答] 法一:
设点A(x,y)在l1上,点B(xB,yB)在l2上.
由题意知则点B(6-x,-y),
解方程组
得则k==8.
故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
法二:
设所求的直线方程为y=k(x-3),
点A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),
由解得
∵P(3,0)是线段AB的中点,
∴yA+yB=0,即+=0,
∴k2-8k=0,解得k=0或k=8.
若k=0,则xA=1,xB=-3,
此时=≠3,∴k=0舍去,
故所求的直线方程为y=8(x-3),
即8x-y-24=0.
解决直线方程的综合问题时,除灵活选择方程的形式外,还要注意题目中的隐含条件,若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.
东北三校联考)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点.
(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|MA|·
|MB|取得最小值时,求直线l的方程.
(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<
0),
A,B(0,1-2k),
△AOB的面积S=(1-2k)
=≥(4+4)=4.
当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立.
故直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
(2)∵|MA|=,|MB|=,
∴|MA|·
|MB|=·
=2≥2×
2=4,
当且仅当k2=,即k=-1时取等号,
故直线方程为x+y-3=0.
[典例] (2012·
西安模拟)设直线l的方程为
(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
[尝试解题]
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,此时截距相等.
故a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不过原点时,由截距存在且均不为0,
得=a-2,即a+1=1,
故a=0,方程即为x+y+2=0.
综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
则或
∴a≤-1.
综上可知,a的取值范围是(-∞,-1].
——————[易错提醒]———————————————————————————
1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等,当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.
2.常见的与截距问题有关的易误点有:
“截距互为相反数”;
“一截距是另一截距的几倍”等,解决此类问题时,要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.
——————————————————————————————————————针对训练
过点M(3,-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________.
①当过原点时,直线方程为y=-x;
②当不过原点时,设直线方程为+=1,
即x-y=a.代入点(3,-4),得a=7.
即直线方程为x-y-7=0.
y=-x或x-y-7=0
1.若k,-1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(-1,2)D.(-1,-2)
选A 因为k,-1,b三个数成等差数列,所以k+b=-2,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).
2.直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程是( )
A.2x+11y+38=0B.2x+11y-38=0
C.2x-11y-38=0D.2x-11y+16=0
选B 因为中心对称的两直线互相平行,并且对称中心到两直线的距离相等,故可设所求直线的方程为2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得=,解得C=16(舍去)或C=-38.
衡水模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为( )
A.(3,0)B.(-3,0)
C.(0,-3)D.(0,3)
选D ∵l1∥l2,且l1斜率为2,∴l2的斜率为2.
又l2过(-1,1),∴l2的方程为y-1=2(x+1),
整理即得y=2x+3.令x=0,得P(0,3).
4.(2013·
佛山模拟)直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足( )
A.ab>0,bc<0B.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0D.ab<0,bc<0
选A 由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,