学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算教学案北师大版选修22Word下载.docx
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复数的加减法类似多项式加减，试想：
复数相乘是否类似两多项式相乘？
是．
复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？
问题3：
试举例验证复数乘法的交换律．
若z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）．
z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，
z2z1＝（c＋di）（a＋bi）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i.
故z1z2＝z2z1.
（1）定义：
（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.
（2）运算律：
①对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·
z2＝z2·
z1
结合律
（z1·
z2）·
z3＝z1·
（z2·
z3）
乘法对加法的分配律
z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
②复数的乘方：
任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有
zmzn＝zm＋n，（zm）n＝zmn，（z1z2）n＝zz.
共轭复数
观察下列三组复数：
（1）z1＝2＋i；
z2＝2－i；
（2）z1＝3＋4i；
z2＝3－4i；
（3）z1＝4i；
z2＝－4i.
每组复数中的z1与z2有什么关系？
实部相等，虚部互为相反数．
试计算每组中的z1z2，你发现有什么规律？
z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，也就是当z＝a＋bi时，＝a－bi.于是z＝a2＋b2＝|z|2.
复数的除法
我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数a＋bi，c＋di（c＋di≠0）．若（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi，则x＋yi＝叫做复数a＋bi除以c＋di的商．
根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y.
由（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi得
xc－yd＋（xd＋yc）i＝a＋bi.
即∴
运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？
可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．
复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0），
则＝＝＋i（c＋di≠0）．
1．复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；
而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化（分子、分母同乘分母的共轭复数）．
复数的加减运算
[例1] 计算：
（1）（1＋2i）＋（3－4i）－（5＋6i）；
（2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]；
（3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i（a，b∈R）．
[思路点拨] 利用复数加减运算的法则计算．
[精解详析]
（1）（1＋2i）＋（3－4i）－（5＋6i）
＝（4－2i）－（5＋6i）＝－1－8i.
（2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]＝5i－（4＋i）＝－4＋4i.
（3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i＝（a－2a）＋[b－（－3b）－3]i＝－a＋（4b－3）i.
[一点通] 复数加、减运算的方法技巧：
（1）复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；
（2）把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．
1．计算（1＋i）＋（－2－i）－（3－2i）．
解：
（1＋i）＋（－2－i）－（3－2i）
＝[－1＋（－）i]－（3－2i）
＝－4＋（2＋－）i.
2．若（3－10i）y＋（－2＋i）x＝1－9i，求实数x，y的值．
原式化为3y－10yi＋（－2x＋xi）＝1－9i.
即（3y－2x）＋（x－10y）i＝1－9i.
∴∴
复数的四则运算
[例2] 计算：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i；
（3）（－2＋3i）÷
（1＋2i）＋i5；
（4）＋2.
[思路点拨] 按照复数的乘法与除法运算法则进行计算．
[精解详析]
（1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）
＝1－i2＋（－1＋i）
＝2－1＋i＝1＋i.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i
＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i
＝（－2＋11i＋5）（3－4i）＋2i
＝（3＋11i）（3－4i）＋2i
＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
（3）原式＝＋i5＝＋（i2）2·
i
＝＋i＝＋i.
（4）＋2
＝＋
＝－1
＝8－1
＝7.
[一点通]
（1）复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成－1，进行最后结果的化简；
复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．
（2）im（m∈N＋）具有周期性，且最小正周期为4，则
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1（n∈N＋）；
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N＋）．
3．（新课标全国卷Ⅱ）设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝（ ）
A．－1＋i B.－1－i
C.1＋iD.1－i
解析：
z＝＝＝－1＋i，故选A.
答案：
A
4．（新课标全国卷Ⅰ）若复数z满足（3－4i）z＝|4＋3i|，则z的虚部为（ ）
A．－4B.－
C.4D.
因为|4＋3i|＝＝5，所以已知等式为（3－4i）z＝5，即z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z的虚部为，选择D.
D
5．计算：
（1）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）；
（2）.
（1）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）
＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）
＝24－8i－6i－2＋28－21i－4i－3
＝47－39i.
（2）＝
＝＝（1＋i）4i
＝i[（1＋i）2]2＝i（2i）2＝－4i.
[例3] 已知z∈C，为z的共轭复数，若z·
－3i＝1＋3i，求z.
[精解详析] 设z＝a＋bi（a，b∈R），
则＝a－bi（a，b∈R），
由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[一点通] 已知关于z和的方程，求z的问题，解题的常规思路为设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解．
6.（四川高考）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）
A．A
B．B
C．C
D．D
因为x＋yi的共轭复数是x－yi，故选B.
B
7．（新课标全国卷）复数z＝的共轭复数是（ ）
A．2＋iB．2－i
C．－1＋iD.－1－i
z＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.
8．已知复数z1＝5＋i，z2＝i－3，且＝1＋2，求复数z.
由已知得：
1＝5－i，2＝－3－i，
∴＝1＋2＝（5－i）＋（－3－i）＝2－2i，
∴z＝＝×
＝＋i.
1．复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如：
（1±
i）2＝±
2i，＝i，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N＋）等，在解题中可使运算简化．
2．解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程．
①z·
＝|z|2＝||2；
②z∈R⇔＝z；
③z≠0，z为纯虚数⇔＝－z.
1．（1＋2i）＋－＝（ ）
A．－2i B．2－2i
C．2＋2iD.2
原式＝＋i＝2－2i.
2．已知a为正实数，i为虚数单位，若的模为2，则a＝（ ）
A．2B.
C.D.1
因为＝1－ai，所以＝2，又a>
0，故a＝.故选B.
3．计算：
＋＝（ ）
A．0B．1
C．iD.2i
＋＝3＋＝i＋i＝2i.故选D.
4．（1＋i）20－（1－i）20的值是（ ）
A．－1024B．1024
C．0D.512
（1＋i）20－（1－i）20＝[（1＋i）2]10－[（1－i）2]10＝（2i）10－（－2i）10＝（2i）10－（2i）10＝0.
C
5．（天津高考）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a＋i）（1＋i）＝bi，则a＋bi＝________.
因为（a＋i）（1＋i）＝a－1＋（a＋1）i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
1＋2i
6．若复数z满足z－（1＋z）i＝1，则z＋z2＝________.
由题得z－i－zi－1＝0，
则z＝＝－＋i，
所以z＋z2＝－＋i＋2＝－1.
－1
7．计算：
（1）（＋i）2（4＋5i）；
（1）（＋i）2（4＋5i）＝2（1＋i）2（4＋5i）
＝4i（4＋5i）
＝－20＋16i.
（2）＝＝＝1－i.
8．已知复数z满足（z－2）i＝a＋i（a∈R）．
（1）求复数z；
（2）a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？
（1）由已知得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
（2）由
（1）得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3<
a<
0.
即当－3<
0时，复数z2对应的点在第一象限．
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