学年高中数学人教版选修21习题 综合素质检测2 Word版含答案Word下载.docx
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∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.
由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16
a2＝25＋16＝41，∴a＝
，∴L＝4
，故选D.
4．设双曲线
－
0，b>
0）的虚轴长为2，焦距为2
，则双曲线的渐近线方程为
A．y＝±
xB．y＝±
2x
C．y＝±
xD．y＝±
x
[答案] C
[解析] ∵2b＝2,2c＝2
，∴b＝1，c＝
，∴a2＝c2－b2＝3－1＝2，∴a＝
，故渐近线方程为y＝±
x.
5．（2015·
衡阳高二检测）“1<
m<
3”是“方程
＝1表示椭圆”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 若方程
＝1表示椭圆，则
⇒1<
3且m≠2，∴选B.
6．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4
，则C的实轴长为
A.
B．2
C．4D．8
[解析] |AB|＝4
，∴准线方程为x＝－4，∴A（－4，2
）在双曲线上设方程
＝1（a≠0），即
＝1，∴a＝2，∴实轴长2a＝4.
7．（2015·
潮州高二检测）方程mx＋ny2＝0与mx2＋ny2＝1（mn≠0）在同一坐标系中的大致图象可能是
[答案] A
[解析] 方程y2＝－
x表示焦点在x轴的抛物线，当开口向右时，－
>
0，∴mn<
0，∴mx2＋ny2＝1表示双曲线，选A.
8．（2015·
福建八县一中高二期末测试）经过点P（2，－2）且与双曲线C：
－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是
＝1B．
＝1
＝1D．
[解析] 设所求双曲线方程为
－y2＝λ（λ≠0），
又∵点P（2，－2）在双曲线上，
∴
－4＝λ，∴λ＝－2.
所求双曲线的方程为
9．经过双曲线
0）的右焦点，倾斜角为60°
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为
A．2B．
D．
[解析] 由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，
＝tan60°
＝
，∴b＝
a，代入a2＋b2＝c2中得4a2＝c2，∴e2＝4，∵e>
1，∴e＝2，故选A.
10．（2015·
天津理，6）已知双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，
），且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4
x的准线上，则双曲线的方程为
[解析] 双曲线
0）的渐近线方程为y＝±
x，由点（2，
）在渐近线上，所以
，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4
x准线方程x＝－
上，所以c＝
，由此可解得a＝2，b＝
，所以双曲线方程为
＝1，故选D.
11．（2015·
黑龙江哈师大附中高二期中测试）设P为椭圆
＝1上的一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°
，则|PF1|·
|PF2|等于
B．
D.
[解析] ∵a2＝9，b2＝4，∴c2＝5.
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|2＋|FP2|2＋2|PF1|·
|PF2|＝36.
在△F1PF2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·
|PF2|cos60°
＝|F1F2|2＝20，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|·
|PF2|＋20，
∴3|PF1|·
|PF2|＝16，∴|PF1|·
|PF2|＝
.
12．（2015·
重庆文，9）设双曲线
0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为
A．±
B．±
C．±
1D．±
[解析] 由已知得右焦点F（c,0）（其中c2＝a2＋b2，c>
0），A1（－a,0）、A2（a,0）；
B（c，－
）、C（c，
）；
从而A1B―→＝（c＋a，－
），
＝（c－a，
），又因为A1B⊥A2C，所以A1B―→·
A2C―→＝0，即（c－a）·
（c＋a）＋（－
）·
（
）＝0；
化简得到
＝1，即双曲线的渐进线的斜率为±
1；
故选C.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）
13．（2015·
陕西理，14）若抛物线y2＝2px（p>
0）的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－
，因为p＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为（－
，0）；
故由－
＝－
可解得p＝2
14．（2016·
山东理，13）已知双曲线E：
＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.
[解析] 如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝
.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝
＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝
＝2.
15．（2015·
南通高二检测）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（－3,0）和C（3,0），顶点B在椭圆
＝1上，则
＝________.
[答案]
[解析] 在椭圆
＝1中a＝5，b＝4，c＝3，
∵三角形ABC顶点A（－3,0）和C（3,0），顶点B在
＝1上，
∴BC＋AB＝2a＝10，由正弦定理
16．方程
＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若1<
t<
4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则t<
1或t>
4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<
其中真命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）．
[答案] ③④
[解析] 显然当t＝
时，曲线为x2＋y2＝
，方程表示一个圆；
而当1<
4，且t≠
时，方程表示椭圆；
当t<
4时，方程表示双曲线；
时，4－t>
t－1>
0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．
三、解答题（本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）（2015·
辽宁沈阳二中高二期中测试）已知线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆（x＋1）2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹.
[解析] 设点M的坐标为（x，y）、点A的坐标为（x0，y0）．
由题意得
，∴
，
又∵点A（x0，y0）在圆（x＋1）2＋y2＝4上，
∴（2x－3）2＋（2y－3）2＝4，
即（x－
）2＋（y－
）2＝1.
故线段AB的中点M的轨迹是以点（
）为圆心，以1为半径的圆．
18．（本小题满分12分）设F1、F2分别是椭圆E：
x2＋
＝1（0<
b<
1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列.
（1）求|AB|；
（2）若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析]
（1）求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝
（2）l的方程式为y＝x＋c，其中c＝
设A（x1，y1）、B（x1，y1），则A、B两点坐标满足方程组
消去y化简得（1＋b2）x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝
，x1x2＝
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝
|x2－x1|，
即
|x2－x1|.
则
＝（x1＋x2）2－4x1x2
解得b＝
19．（本小题满分12分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2
.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7︰3，求椭圆和双曲线的方程.
[解析] ①焦点在x轴上，设椭圆方程为
b>
0），且c＝
设双曲线为
＝1（m>
0，n>
0），m＝a－4.
因为
，所以
，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为
＝1，
双曲线方程为
②焦点在y轴上，椭圆方程为
＝1，双曲线方程为
20．（本小题满分12分）如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆上的点（1，
）到F1，F2两点的距离之和为4.
（1）求椭圆C的方程．
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积．
[解析]
（1）由题设知：
2a＝4，即a＝2，将点（1，
）代入椭圆方程得
＝1，解得b2＝3，
故椭圆方程为
（2）由
（1）知A（－2,0），B（0，
所以kPQ＝kAB＝
所以PQ所在直线方程为y＝
（x－1），
由
消x得8y2＋4
y－9＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1＋y2＝－
，y1·
y2＝－
所以|y1－y2|＝
所以S△F1PQ＝
|F1F2|·
|y1－y2|＝
×
2×
21．（本小题满分12分）（2015·
山东临沂市高二期末测试）已知抛物线y2＝2px（p>
0）的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5.
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过点（4,0）的任意一条直线，若l交抛物线于A、
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