届高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率直线方程教师用书 理Word文档格式.docx

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若由A（x1，y1），B（x2，y2）确定的直线不垂直于x轴，则k＝。

3．直线方程的五种形式

名称

条件

方程

适用范围

点斜式

斜率k与点（x0，y0）

y－y0＝k（x－x0）

不含直线x＝x0

斜截式

斜率k与截距b

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

两点式

两点（x1，y1），（x2，y2）

＝

不含直线x＝x1（x1＝x2）和直线y＝y1（y1＝y2）

截距式

截距a与b

＋＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

—

Ax＋By＋C＝0

（A2＋B2≠0）

平面直角坐标系内的直线都适用

微点提醒

1．斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式，也可以通过求倾斜角的正切值来实现。

2．对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。

3．直线的点斜式、斜截式是最常用的形式，点斜式重在突出斜率与定点，斜截式主要体现斜率及在y轴上的截距，都具有非常鲜明的几何特点。

小|题|快|练

一、走进教材

　1．（必修2P100练习T3改编）直线l：

xsin30°

＋ycos150°

＋1＝0的斜率是（　　）

A.B.

C．－D．－

【解析】　设直线l的斜率为k，则k＝－＝。

故选A。

【答案】　A

2．（必修2P100A组T3改编）已知点A（1,2），B（3,1），则线段AB的垂直平分线方程为（　　）

A．4x＋2y－5＝0B．4x－2y－5＝0

C．x＋2y－5＝0D．x－2y－5＝0

【解析】　线段AB的中点坐标为，kAB＝＝－，则线段AB的垂直平分线的斜率为2，且过点，故线段AB的垂直平分线方程为y－＝2（x－2），即4x－2y－5＝0。

故选B。

【答案】　B

二、双基查验

1．过点M（－2，m），N（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（　　）

A．1B．4

C．1或3D．1或4

【解析】　显然m≠－2，由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1。

2．直线x＋y＋m＝0（m∈R）的倾斜角为（　　）

A．30°

　　　　　　　　B．60°

C．150°

D．120°

【解析】　由k＝tanα＝－，α∈[0°

，180°

）得α＝150°

故选C。

【答案】　C

3．已知直线l过点P（－2,5），且斜率为－，则直线l的方程为（　　）

A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0

【解析】　由y－5＝－（x＋2），得3x＋4y－14＝0。

4．若点A（4,3），B（5，a），C（6,5）三点共线，则a的值为__________。

【解析】　kAC＝＝1，kAB＝＝a－3。

由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4。

【答案】　4

5．过点（－3,4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。

【解析】　由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点（－3,4），

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9。

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0。

【答案】　4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0

微考点　大课堂

考点一

直线的倾斜角与斜率……母题发散

【典例1】　

（1）直线2xcosα－y－3＝0

的倾斜角的取值范围是（　　）

A.　　　　　　B.

C.D.

（2）直线l过点P（1,0），且与以A（2,1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________。

【解析】　

（1）直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，

因为α∈，所以≤cosα≤，

因此k＝2·

cosα∈[1，]。

设直线的倾斜角为θ，

则有tanθ∈[1，]。

又θ∈[0，π），所以θ∈，

即倾斜角的取值范围是。

（2）如图，∵kAP＝＝1，

∴kBP＝＝－，

∴k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）。

【答案】　

（1）B　

（2）（－∞，－]∪[1，＋∞）

【母题变式】　1.若将本典例

（2）中“P（1,0）”改为“P（－1,0）”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围。

【解析】　如图，∵P（－1,0），A（2,1），B（0，），

∴kAP＝＝，

kBP＝＝。

所以，直线l斜率的取值范围为。

【答案】　

2．若将本典例

（2）中的B点坐标改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l倾斜角的范围。

【解析】　如图：

直线PA的倾斜角为45°

，

直线PB的倾斜角为135°

由图象知l的倾斜角的范围为[0°

，45°

]∪[135°

）。

【答案】　[0°

）

反思归纳　直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论。

由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞）；

当α＝时，斜率不存在；

当α∈时，斜率k∈（－∞，0）。

【拓展变式】　已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；

最小值为________。

【解析】　如图，设点P（x，y），因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是（2,4），（3,2）。

因为的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以的最大值为2，最小值为。

【答案】　2　

考点二

求直线的方程

【典例2】　

（1）求过点A（1,3），斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程。

（2）求经过点A（－5,2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程。

【解析】　

（1）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×

＝－。

又直线经过点A（1,3），因此所求直线方程为y－3＝－（x－1），即4x＋3y－13＝0。

（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将（－5,2）代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；

当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0。

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0。

【答案】　

（1）4x＋3y－13＝0　

（2）2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0

反思归纳　1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。

2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；

若采用截距式，应判断截距是否为零）。

【变式训练】　已知直线l过（2,1），（m,3）两点，则直线l的方程为________。

【解析】　①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；

②当m≠2时，直线l的方程为＝，

即2x－（m－2）y＋m－6＝0。

因为m＝2时，代入方程2x－（m－2）y＋m－6＝0，

即为x＝2，

所以直线l的方程为2x－（m－2）y＋m－6＝0。

【答案】　2x－（m－2）y＋m－6＝0

考点三

直线方程的应用……多维探究

角度一：

与不等式相结合的最值

【典例3】　（2015·

福建高考）若直线＋＝1（a>

0，b>

0）过点（1,1），则a＋b的最小值等于（　　）

A．2B．3

C．4D．5

【解析】　将（1,1）代入直线＋＝1得＋＝1，a>

0，故a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故a＋b的最小值为4。

角度二：

与函数相结合的最值

【典例4】　（2016·

北京高考）已知A（2,5），B（4,1）。

若点P（x，y）在线段AB上，则2x－y的最大值为（　　）

A．－1B．3

C．7D．8

【解析】　依题意得kAB＝＝－2，∴线段lAB：

y－1＝－2（x－4），x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－（－2x＋9）＝4x－9，x∈[2,4]。

设h（x）＝4x－9，易知h（x）＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h（x）max＝4×

4－9＝7。

角度三：

与圆相结合的直线方程问题

【典例5】　（2016·

运城二模）已知圆（x－2）2＋（y＋1）2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（　　）

A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0

C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0

【解析】　直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为（2，－1），该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0。

故选D。

【答案】　D

反思归纳　与直线有关的最值问题的解题思路

1．借助直线方程，用y表示x或用x表示y。

2．将问题转化成关于x（或y）的函数。

3．利用函数的单调性或基本不等式求最值。

微考场　新提升

1．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）

A．k1<

k2<

k3B．k3<

k1<

k2

C．k3<

k1D．k1<

k3<

解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<

0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>

α3，所以0<

k2，因此k1<

k2,故选D。

答案　D

2．（2017·

太原模拟）已知直线l的斜率为1，在y轴上截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（　　）

A．y＝x＋2B．y＝x－2

C．y＝x＋D．y＝－x＋2

解析　因为x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2。

答案　A

3．（2016·

海淀统考）若直线l经过点A（1,2），且在x轴上的截距的取值范围是（－3,3），则其斜率的取值范围是（　　）

A．－1<

k<

B．k>

1或k<

C.<

1D．k>

或k<

－1

解析　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），直线在x轴上的截距为1－，令－3<

1－<

3，解不等式可得k>

－1，也可以利用数形结合。

4．（2016·

武宜中学质检）直线x＋（a2＋1）y＋1＝0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（　　）

C.∪D.∪

解析　因为直线方程为x＋（a2＋1）y＋1＝0，所以直线的斜率k＝－