全国名校高中数学题库直线方程Word格式文档下载.docx

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两点式

=

（x1≠x2,y1≠y2

（x1,y1）、（x2,y2）为直线上的两个定点，

不垂直于x轴和y轴的直线

截距式

+=1

（a,b≠0）

a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距

不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线

一般式

Ax+By+C=0

（A2+B2≠0）

斜率为，在x轴上的截距为，在y轴上的截距为

任何位置的直线

3、判断两条直线的位置关系的条件：

斜载式：

y=k1x+b1

y=k2x+b2

一般式：

A1x+B1y+C1=0

A2x+B2y+C2=0

相交

k1≠k2

A1B2-A2B1≠0

垂直

k1·

k2=-1

A1A2+B1B2=0

平行

k1=k2且b1≠b2

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0

重合

k1=k2且b1=b2

A1B2-A2B1=A1C2-A2C1=B1C2-B2C1≠0=0

4、直线L1到直线L2的角的公式：

tan=（k1k2≠-1）

直线L1与直线L2的夹角公式：

tan=||（k1k2≠-1）

5、点到直线的距离：

点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离为d=

6、两条平行的直线之间的距离：

两条平行线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0之间的距离d=

7、直线系方程：

①、过定点P（x0,y0）的直线系方程：

y-y0=k（x-x0）；

②、平行的直线系方程：

y=kx+b；

③、过两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为：

A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0

8、对称问题：

点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称：

二、典例剖析：

★【例题1】、设函数（x）=asinx-bcosx图象的一条对称轴方程为x=,则直线ax-by+c=0的倾斜角为（B）

ABCD

★【例题2】已知集合A={（x,y）|x=cos且y=sin,∈[0,π]},B={（x,y）|y=kx+k+1},若A∩B有两个元素，则k的取值范围是_____▲解：

画图可知，直线与半圆有两个交点，则[,0）

★【例题3】已知直线过点P（-1，2）,且与以点A（-2，-3）、B（3，0）为端点线段相交，则直线L的斜率的取值范围是__（k≥5,或k≤）

三、巩固练习：

★【题1】已知两条直线和互相垂直，则等于

（A）2　　　　（B）1　　　　（C）0　　　　（D）

▲解：

两条直线和互相垂直，则，∴a=－1，选D.

★【题2】已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）

ABCD

（m+2）×

（-2）-1×

（4-m）=0,m=-8,选（B）

★【题3】“”是“直线相互垂直”的（B）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

▲【详解】当时两直线斜率乘积为，从而可得两直线垂直；

当时两直线一条斜率为0，一条

斜率不存在,但两直线仍然垂直；

因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.

●注意：

对于两条直线垂直的充要条件①都存在时；

②中有一个不存在另一个为零；

对于②这种情况多数考生容易忽略.

★【题4】若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0,b）（ab0）共线，则,的值等于1/2

★【题5】已知两条直线若，则____.

已知两条直线若，，则2.

★【题6】已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是．

▲解：

由已知得圆心为：

，由点到直线距离公式得：

；

★【题7】过点（1，）的直线l将圆（x－2）2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝．

★【题8】直线与圆没有公共点，则的取值范围是

A．　B．　C．D．

由圆的圆心到直线大于，且，选A。

★【题9】．若圆上至少有三个不同的点到直线的

距离为,则直线的倾斜角的取值范围是：

A．B．C．D．

圆整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，

∴，∴，∴，，∴，直线的倾斜角的取值范围是，选B.

★【题10】7．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

A．36　　　B.18　　　　C.　　　D.

▲．解：

圆的圆心为（2，2），半径为3，圆心到到直线的距离为>

3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6，选C.

★【题11】设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）

A．±

B．±

2B．±

2D．±

4

▲解；

直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心（0，0）道直线的距离等于半径，∴，∴a的值±

2，选B．

★【题12】如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，

l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，

则△ABC的边长是（D）:

（A）（B）（C）（D）

★【题13】如图，三定点A（2，1），B（0，－1），C（－2，1）;

三动点D，E，M满足=t，=t，=t，t∈[0，1]．（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围;

（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

．▲解：

如图，（Ⅰ）设D（x0，y0），E（xE，yE），M（x，y）．由=t，=t，知（xD－2，yD－1）=t（－2，－2）．∴同理．

∴kDE===1－2t．∴t∈[0，1]，∴kDE∈[－1，1]．

（Ⅱ）∵=t∴（x+2t－2，y+2t－1）=t（－2t+2t－2，2t－1+2t－1）=t（－2，4t－2）=（－2t，4t2－2t）．∴，∴y=，即x2=4y．∵t∈[0，1]，x=2（1－2t）∈[－2，2]．

即所求轨迹方程为:

x2=4y，x∈[－2，2]

※★【题14】已知圆M：

（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直线l：

y＝kx，下面四个命题：

（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切；

（B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；

（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；

（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切；

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

圆心坐标为（－cos，sin）d＝;

故选（B）（D）

※★【题15】在平面直角坐标系中，已知矩形的长为２，宽为１，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使点落在线段上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

（Ⅱ）求折痕的长的最大值．

（Ⅰ）（i）当时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程，

（ii）当时，设A点落在线段上的点，，则直线的斜率，∵∴，∴，∴；

又∵折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）；

为，

∴折痕所在的直线方程，即，由（i）（ii）得折痕所在的直线方程为：

（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

由（Ⅰ）知，，∵，∴，设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为，

（i）当时，此时A点与D点重合,折痕的长为2；

（ii）当时，

设，，时，l与线段AB相交，此时，

时，l与线段BC相交，此时，时，l与线段AD相交，此时，

时，l与线段DC相交，此时，∴将k所在的分为３个子区间：

①当时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交，折痕的长，∴，②当时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，

令，即，即，即，

∵，∴解得；

令，解得，

故当时，是减函数，当时，是增函数，

∵，，∴，∴当时，，，∴当时，，③当时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，折痕的长，∴，即，

综上所述得，当时，折痕的长有最大值，为．

高三数学第一轮复习：

直线方程与两直线的位置关系

【本讲主要内容】

直线方程与两直线的位置关系

直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和到角公式、点到直线距离公式。

【知识掌握】

【知识点精析】

1.直线斜率的概念：

（1）直线的倾斜角：

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0º

。

因此，直线的倾斜角α的取值范围是0º

≤α＜180º

（2）直线的斜率：

倾斜角α≠90º

的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90º

）。

（3）直线的方向向量：

设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2-x1，y2-y1）称为直线的方向向量。

向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率。

（4）求直线斜率的方法：

①定义法：

已知直线的倾斜角为α，且α≠90º

，则斜率k=tanα

②公式法：

已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=

③方向向量法：

若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率为k=

说明：

平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。

斜率的图象如图：

2.直线方程的几种形式：

（1）点斜式：

，其特例是：

（斜截式）；

（2）两点式：

（截距式）；

（3）一般式：

（A、B不同时为0）

使用直线方程时，要注意限制条件。

如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；

截距式的使用条件是两截距都存在且不为0；

两点式的使用条件是直线不与x轴垂直，也不与y轴垂直。

3.两条直线的位置关系：

（1）当直线方程为、时，若∥，则；

若、重合，则；

若⊥，则。

（2）当两直线方程为时，若∥，则；

利用斜率来判断两条直线的位置关系时，必须是在两直线斜率都存在的前提下才行，否则就会得出错误结论，而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错。

例如：

已知直线与直线互相垂直，则实数的值为（）

A.-1或2B.-1或-2C.1或2D.1或-2

解析：

⊥，故选B。

4.点到直线的距离、直线到直线的距离：

（1）点P到直线的距离为：

（2）当∥，且直线方程分别为时，两直线间的距离为：

5.两直线的夹角：

若直线、的斜率分别为，则

（1）直线到的角满足：

（2）直线、所成的角（简称夹角）满足：

若直线、的斜率至少有一个不存在时，可根据图象直接求出所求的角。

6.两直线的交点：

两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数。

7.对称问题：