高考数学总复习 极限与导数专项练习.docx
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高考数学总复习极限与导数专项练习
2009届高考数学总复习极限与导数专项练习
班级___________姓名___________学号___________分数___________
一．选择题高考资源网
1．函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A.（,） B.（π,2π） C.（,） D.（2π,3π）
2．在曲线y=x3+x-2的切线中,与直线4x-y=1平行的切线方程是（ ）
A.4x-y=0 B.4x-y-4=0
C.2x-y-2=0 D.4x-y=0或4x-y-4=0
3．已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为（ ）
A.-1＜a＜2 B.-3＜a＜6 C.a＜-1或a＞2 D.a＜-3或a＞6
4．f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的________________条件.（ ）
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要
5．若［1-（）n］=1,则q的取值范围为（ ）
A.q＜-1 B.q＞-1 C.q＞0 D.q＞-
6．下列四个命题中正确的是（ ）
A.若an2=A2，则an=A B.若an＞0,an=A,则A＞0
C.若an=A,则an2=A2 D.若（an-bn）=0,则an=bn
7．等于（ ）
A. B. C. D.
8．已知f（x）=,则下列结论正确的是
A.f（x）=1 B.f（x）=0
C.f（x）=0 D.f（x）=1
9．若，则a的值可以是
A.2 B.-2 C.-6 D.6
10．已知函数y=xf′（x）的图象如下图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）.下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）
11．已知函数f（x）=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g（x）=在间（1，+∞）上一定（ ）
A.有最小值 B.有最大值
C.是减函数 D.是增函数
12．等于（ ）
A.1 B. C. D.0
二．填空题
1．曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为__________________.
2．设常数a＞0,（ax2+）4展开式中x3的系数为,则=______________.
3．设函数f（x）=e2x-2x,则=_____________.
4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f
（2）=__________________.
三．解答题
1．如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:
从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a＞0）个单位后,向左转90°,前进ar（0＜r＜1）个单位,再向左转90°,又前进ar2个单位,…,如此连续下去.
（1）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?
（2）若其中的r为变量,且0＜r＜1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?
2．已知函数f（x）=x3+ax2+2bx+c在（0,1）内取得极大值,在（1,2）内取得极小值,求的取值范围.
3．f（x）为多项式且=1,=5，求f（x）的表达式.
4．有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度.
5．在数列an中，若a1,a2是正整数，且an=|an-1-an-2|,n=3，4，5，…，则称|an|为“绝对差数列”.
（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（2）若“绝对差数列”|an|中，a20=3,a21=0,数列|bn|满足bn=an+an+1+an+2,n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时,an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（3）证明：
任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
6．已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立.
（Ⅰ）求证：
函数g（x）=在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求证：
当x1＞0,x2＞0时，有f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）;
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，求证：
ln22+ln32+ln42+…+ln（n+1）2＞（n∈N*）.
高中总复习极限与导数专项练习卷
参考答案
一．选择题
1．解析:
y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,
当x∈（,）时,恒有xcosx＞0.
答案:
C
2．解析:
y′=3x2+1,又4x-y=1的斜率为4,
设曲线y=x3+x-2的切线中与4x-y=1平行的切线的切点为M（x0,y0）,
则3x02+1=4,
∴x0=1或x0=-1.
∴切点为M（1,0）、N（-1,-4）均不在4x-y=1上.
∴有两条直线与4x-y=1平行.
答案:
D
3．解析:
f′（x）=3x2+2ax+a+6.
要使f（x）有极大值和极小值,需f′（x）=0有两个不相等的实根.
∴Δ=4a2-12（a+6）＞0.
∴a＞6或a＜-3.
答案:
D
4．解析:
f（x）在x=x0处有定义不一定连续.
答案:
A
5．解析:
由题意||＜1,
∴q2＜q2+2q+1.
∴q＞-.
答案:
D
6．解析：
排除法，取an=（-1）n，排除A;取an=1n，排除B;取an=bn=n，排除D.
答案:
C
7．解析:
原式
=
=.
答案:
A
8．解析:
=-1,==0,
f（x）不存在,=-.
∴选B.
答案:
B
9．解析:
===.
∴b=3.而（x-2）（x+b）=（x-2）（x+3）=x2+x-6，
∴a=-6.∴选C.
答案:
C
10．解析：
当x＜-1时,xf′（x）＜0,
∴f′（x）＞0,f（x）为增函数.
当-1＜x＜0时,xf′（x）＞0,
∴f′（x）＜0,f（x）为减函数.
当0＜x＜1时,xf′（x）＜0,
∴f′（x）＜0,f（x）为减函数.
当x＞1时,xf′（x）＞0,f′（x）＞0,f（x）为增函数.
答案：
C
11．解析：
f（x）=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，故a＜1，
而g（x）=x+-2a，g′（x）=1-.
∵x＞1，a＜1,∴g′（x）＜0,即g（x）在（1，+∞）递减.
答案：
C
12．解析：
答案:
B
二．填空题
1．3x-y-11=0
解析：
∵y′=（x3+3x2+6x-10）′=3x2+6x+6=3（x+1）2+3≥3,
∴斜率最小的切线方程为y-（-14）=3（x+1）,即3x-y-11=0.
2．1
3．4
解析：
f′（x）=2e2x-2,∴==z（e0+1）=4.
4．11或18
解析:
f′（x）=3x2+2ax+b,由题意得,
∴.
∴或.
∴f
（2）=11或f
（2）=18.
三．解答题
1．剖析:
（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置.
（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.
解:
（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,则x=a-ar2+ar4-…==,
y=ar-ar3+ar5-…=,
∴大本营应在点（,）附近去寻找小分队.
（2）由,消去r得（x-）2+y2=（其中x＞,y＞0）,
即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上.
2．解：
f′（x）=x2+ax+2b.
依题意,方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1,另一个根大于1且小于2.
于是
即不等式表示的平面区域如图所示,其中A（-2,1）、B（-1,0）、D（1,2）.
设C（a,b）为可行域内的任意一点,的几何意义为直线CD的斜率.
由图可知,kBD＞kCD＞kAD,
故＜＜1.
3．解析：
∵f（x）是多项式，且=1,
∴可设f（x）-4x3=x2+ax+b（a,b为待定系数），即f（x）=4x3+x2+ax+b.
又=5，
即（4x2+x+a+）=5.
得故f（x）=4x3+x2+5x.
4．解析：
设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s=5-,
当下端移开1.4m时，t0==，
又s′=-·（-9·2t）=9t,所以s′（t0）=9×·=0.875m/s.
5．解:
（1）a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.（答案不唯一）
（2）因为在绝对差数列{an}中，a20=3,a21=0.所以自第20项开始，该数列是a20=3,a21=0,a22=3,a23=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=0,…
即自第20项开始.每三个相邻的项周期的取值3，0，3.所以当n→∞时，an的极限不存在.
当n≥20时,bn=an+an+1+an+2=6,所以.
（3）证明：
根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下：
假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|,所以对于任意的n，都有an≥1,从而当an-1＞an-2时,an=an-1-an-2≤an-1-1（n≥3）;
当an-1＜an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1（n≥3）；
即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1.
令Cn=
则0＜CA≤Cn-1-1（n=2,3,4,…）
由于C1是确定的正整数,这样减少下去必然存在某项C1＜0,这与Cn＞0（n=1,2,3,…,）矛盾,从而{an}必有零项.
若第一次出现的零项为第n项,记an-1=A（A≠0）,则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,即
所以绝对差数列{an}中有无穷多个零的项.
6．解：
（Ⅰ）由g（x）=,对g（x）求导数知g′（x）=.
由xf′（x）＞f（x）可知：
g′（x）＞0在x＞0时恒成立.
从而g（x）=在x＞0时是单调递增函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=在x
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