学年高中数学 11 指数与指数幂的运算 第3课时示范教案 新人教A版必修1docWord文档格式.docx

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9.82935328

1.415

9.750851808

1.4143

9.73987262

1.41422

9.738618643

1.414214

9.738524602

1.4142136

9.738518332

1.41421357

9.738517862

1.414213563

9.73817752

的不足近似值

9.518269694

1.4

9.672669973

1.41

9.735171039

1.414

9.738305174

1.4142

9.738461907

1.414213

9.738508928

9.738516765

1.4142135

9.738517705

1.41421356

9.738517736

1.414213562

③你能给上述思想起个名字吗?

④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?

如5

根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?

⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?

活动：

教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于

的方向,另一方面从小于

的方向.

问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.

问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.

问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.

问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.

讨论结果：

①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…这些数都小于

称

的不足近似值,而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,这些数都大于

的过剩近似值.

②第一个表:

从大于

的方向逼近

时,5

就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5

.

第二个表:

从小于2的方向逼近

就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5

的方向逼近5

从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5

从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5

的方向接近5

而另一方面5

从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5

可以说从两个方向无限地接近5

即逼近5

所以5

是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5

的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5

一定是一个实数,即51.4<

51.41<

51.414<

51.4142<

51.41421<

…<

<

51.41422<

51.4143<

51.415<

51.42<

51.5.

充分表明5

是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.

④根据②③我们可以推断5

是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义:

一般地,无理数指数幂aα（a>

0,α是无理数）是一个确定的实数.

也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.

（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?

（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?

是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?

（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?

教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.

对问题

（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.

对问题

（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>

0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.

对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.

（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.

（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:

①ar·

as=ar+s（a>

0,r,s都是无理数）.

②（ar）s=ars（a>

③（a·

b）r=arbr（a>

0,b>

0,r是无理数）.

（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.

实数指数幂的运算性质:

对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:

0,r,s∈R）.

0,r∈R）.

应用示例

思路1

例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）

（1）0.32.1;

（2）3.14-3;

（3）3.1

;

（4）

教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于

（1）,可先按底数0.3,再按

键,再按幂指数2.1,最后按

即可求得它的值；

对于

（2）,先按底数3.14,再按

键,再按负号

键,再按3,最后按

即可;

对于（3）,先按底数3.1,再按

键,再按3

4,最后按

对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按

键,再按

键.有时也可按

或

键,使用键上面的功能去运算.

学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.

答案：

（1）0.32.1≈0.080;

（2）3.14-3≈0.032;

≈2.336;

≈6.705.

点评：

熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；

用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.

例2求值或化简.

（1）

（a>

0）;

（2）（

）

（3）

学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对

（1）由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对

（2）既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对（3）有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成（

）2+（

）2,22+（

）2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.

解：

=

（a

b

）

=a-2ba

=a

=

根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.

a

a0b0=

化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.

（3）

-

+2-

-2+

=0.

考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.

例3已知x=

（5

-5

）,n∈N*,求（x+

）n的值.

学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5

与5

具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.

x2=

）2=

-2·

50+5

+2+5

-4）

+5

）2-1.

这时应看到

1+x2=1+

（

）2,

这样先算出1+x2,再算出

带入即可.

将x=

）代入1+x2，得1+x2=1+

）n,

所以（x+

）n=［

（5

）+

］n

=［

）］n=（5

）n=5.

运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.

思路2

例1计算:

（1）

（2）125

+（

）-2+343

-（

（3）（-2x

y

）（3x

）；

（4）（x

-y

）÷

（x

）.

学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对

（1）根式的运算常常化成幂的运算进行,对

（2）充分利用指数幂的运算法则来进行,对（3）则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对（4）要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.

=（

+（0.0625）