高考数学 命题角度64 导数与不等式大题狂练 理Word格式文档下载.docx

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所以的单调减区间为，单调增区间为.

综合①②，当时，在上单调递增；

当时，的单调减区间为，单调增区间为.

∴当时，，

从而.

接下来只需证：

，

即证：

令，则，

所以在上单调递减，上单调递增，

即，

∵时，，

∴，

∴.

点晴:

本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：

划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.

2．已知，.

（1）求函数的极值；

（2）求证：

当时，.

（1），无极大值；

（2）；

（3）证明见解析.

（1）对函数进行求导，令和，结合极值的定义得结果；

（2）由对函数求导得到函数在上单调递减，单调递增，要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果；

（3）问题等价于，由

（1）知的最小值为，令（）使得成立即可.

（2）问题等价于

由

（1）知的最小值为

令（）

∴

易知在上单调递增，上单调递减

又

∴，

故当时，成立

考点：

（1）利用导数求函数的极值；

（2）不等式的证明.

【方法点睛】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数求函数的极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②对求导；

③求不等式和的解，根据单调性求极值；

函数零点的个数转化为函数图象与轴的交点的问题，由数形结合思想，根据单调性得结果；

观察所证式子的特征，利用前面的结论，构造不等式，可证结果.

3.设，函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若无零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若有两个相异零点，求证：

.

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）证明见解析.

（Ⅰ）首先求得函数的导数，然后利用导函数研究函数的切线可得曲线在处的切线方程是；

（Ⅱ）结合函数的解析式分类讨论可得实数的取值范围是；

（Ⅲ）由题意结合题中的结论构造函数即可证得题中的不等式.

②若有唯一零点；

③若，令，得，

在区间上，，函数是增函数；

在区间上，，函数是减函数；

故在区间上，的最大值为，

由于无零点，须使，解得，

故所求实数的取值范围是.

（Ⅲ）设的两个相异零点为，设，

∵，∴，

∵，要证，只需证，

只需，等价于，

设上式转化为），

设，

∴在上单调递增，

∴，∴，

4.已知二次函数对都满足且，设函数（，）．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）设，，求证：

对于

恒有

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.

（Ⅰ）设，根据=直接可得答案．（Ⅱ）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）-H

（1）|<

1即可．

（Ⅰ）设，于是

所以又，则．所以．

（Ⅱ）因为对，所以在内单调递减．

于是

.

记，则

所以函数在是单调增函数，

所以，故命题成立．

点睛：

本题考查函数的表达式的求法，考查满足条件的实数的取值范围是否存在的判断与求法，恒成立问题采用变量分离求最值得范围，双变元问题分别找最值求解，借助于导数求单调性.

5.已知函数，函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若，求证：

不等式：

（1）略

（2）（3）略.

对函数求导，讨论，确定单调区间和单调性；

作差构造新函数，利用导数

判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出的范围；

借助第二步的结论，证明不等式.

（Ⅰ），

当时，增区间，无减区间

当时，增区间，减区间

（Ⅱ）

即在上恒成立

设，考虑到

，在上为增函数

，当时，

在上为增函数，恒成立

当时，，在上为增函数

，在上，，递减，

，这时不合题意，

综上所述，

所以原不等式成立.

6.已知函数．

（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．

（Ⅱ）证明：

当时，．

（1）

（2）见解析

（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；

（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，分类讨论求出函数的最值，即可证明.

（1）函数的定义域为.由，得.

①当时，恒成立，函数在上单调递增，又，所以函数在定义域上有个零点.

②当时，则时，时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又，所以函数在定义域上有个零点.

综上所述实数的取值范围为.

于是，当时，.①

令，则.

当时，；

所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，.

于是，当时，.②

显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.

故当时，）.

7.已知函数，．

（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）证明：

．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅰ）由题意可知，和在处有相同的切线，

即在处且，

解得.

（Ⅱ）现证明，设，

令，即，

因此，即恒成立，

同理可证.

由题意，当时，且，

即时，成立.

当时，，即不恒成立.

因此整数的最大值为2.

（Ⅲ）由，令，

即，即

由此可知，当时，，

当时，，

……

当时，.

综上：

.

即.

8.已知函数.

（1）求的极值；

（2）当时，求证：

（1）答案见解析；

（2）证明见解析.

（1）结合导函数研究原函数可得在时取极小值，极小值为，无极大值.

（2）原问题等价于.构造新函数，结合题意和函数的特征即可证得题中的结论.

在递减，在递增，所以

∵，

设，∵，∴递增.

，∴，∴，故结论成立.

9.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）设（其中为的导函数），证明:

时，.

（1）单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）详见解析.

解：

（1）函数的定义域为，由于在上是减函数，所以当时，；

当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由，①当时，由

（1）知，所以.②当时，

构造函数，则，则当时，，易知当时，，.

要证，只需证，设，得，由，得，当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减，当时，，所以当时，成立.综合

①②可知：

10.设函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，求证：

对任意，都有．

（1）；

（2）见解析；

（3）见解析.

（1）当时，，，，，所以函数在点处的切线方程为，即．

（2），定义域为，．

①当时，，故函数在上单调递减；

②当时，令，得

x

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增．