高中数学 第三章 第八课时 二倍角的正弦余弦正切二教案 苏教版必修3.docx
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高中数学第三章第八课时二倍角的正弦余弦正切二教案苏教版必修3
2019-2020年高中数学第三章第八课时二倍角的正弦、余弦、正切
（二）教案苏教版必修3
教学目标：
掌握和角、差角、倍角公式的一些应用，解决一些实际问题；培养学生理论联系实际的观点和对数学的应用意识.
教学重点：
和角、差角、倍角公式的灵活应用.
教学难点：
如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾上节课所推导的二倍角的正弦、余弦、正切公式.
Ⅱ.讲授新课
现在我们继续探讨和角、差角、倍角公式的一些应用.
［例1］求证
＝
.
分析：
运用比例的基本性质，可以发现原式等价于
＝
，此式右边就是tan2θ.
证明：
原式等价于
＝tan2θ
而上式左边＝
＝
＝
＝tan2θ＝右边
∴上式成立.即原式得证.
［例2］利用三角公式化简sin50°（1＋
tan10°）
解：
原式＝sin50°（1＋
）
＝sin50°·
＝2sin50°·
＝2cos40°·
＝
＝
＝1
或：
原式＝sin50°（1＋tan60°tan10°）
＝sin50°（1＋
）
＝sin50°·
＝sin50°·
＝
＝
＝
＝1
评述：
在三角函数式的求值、化简与恒等变形中，有两种典型形式应特别注意，它们在解决上述几类问题中，起着重要作用，这两种典型形式是：
sinx＋cosx＝
sin（x＋
）；sinx＋
cosx＝2sin（x＋
）；
cosx＋
sinx＝2sin（x＋
）
Ⅲ.课堂练习
课本P1101、2、3.
练习题：
1.若－2π＜α＜－
，则
的值是（）
A.sin
B.cos
C.－sin
D.－cos
解：
＝
＝
＝
∵－2π＜α＜－
，∴－π＜
＜－
，∴cos
＜0
∴原式＝－cos
2.已知tan
＝
，求
的值.
解：
＝
＝
＝tan
＝
∴
的值为
.
3.证明
－sin2θ＝4cos2θ
证法一：
左边＝
－2sinθcosθ
＝
－2sinθcosθ
＝
＝
＝
＝4cos2θ＝右边
证法二：
∵（4cos2θ＋sin2θ）（2tanθ－1）
＝8sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ－2sinθcosθ
＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
又∵3sin2θ－4cos2θ＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
∴（4cos2θ＋sin2θ）（2tanθ－1）＝3sin2θ－4cos2θ
∴
＝4cos2θ＋sin2θ
即：
－sin2θ＝4cos2θ
Ⅳ.课时小结
进一步熟练掌握和角、差角、倍角公式的灵活应用，注意要正确使用公式进行三角式的化简、求值、证明.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题5、6
2019-2020年高中数学第三章第六课时两角和与差的余弦、正弦、正切（三）教案苏教版必修3
教学目标：
进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用；提高学生的推理能力，培养学生用联系变化的观点看问题，提高学生的数学素质，使学生树立科学的世界观.
教学重点：
利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题.
教学难点：
怎样使学生对所学知识融会贯通，运用自如.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）＝
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0且a≠c）的两个根为tanα、tanβ，
求tan（α＋β）的值.
分析：
由题意可得tanα、tanβ为一元二次方程的两根，由韦达定理可知tanα＋tanβ＝－
，且tanα·tanβ＝
，联想两角和的正切公式，不难求得tan（α＋β）的值.
解：
由a≠0和一元二次方程根与系数的关系，可知：
且a≠c
所以tan（α＋β）＝
＝
＝－
＝
.
评述：
在解题时要先仔细分析题意，联想相应知识，选定思路，再着手解题.
［例2］设sinθ＋cosθ＝
，
＜θ＜π，求sin3θ＋cos3θ与tanθ－cotθ的值.
解：
∵sinθ＋cosθ＝
∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝
∴sinθcosθ＝－
又sin3θ＋cos3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ）
＝（sinθ＋cosθ）（1－sinθcosθ）＝
（1＋
）＝
又∵
＜θ＜π∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴sinθ－cosθ＝
∴tanθ－cotθ＝
－
＝
＝
＝
＝－
评述：
（1）在sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ中，知其中之一便可求出另外两个.
（2）解决有关sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ的问题是三角函数中的一类重要问题.
［例3］tan2Atan（30°－A）＋tan2Atan（60°－A）＋tan（30°－A）tan（60°－A）＝_____.
解：
原式＝tan2A［tan（30°－A）＋tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］
＝tan2Atan［（30°－A）＋（60°－A）］［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］
＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］
＝tan2Atan（90°－2A）［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］
＝tan2A·cot2A［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］
＝1
评述：
先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.
［例4］已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根，求sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）的值.
解：
由题意知
∴tan（α＋β）＝
＝
＝
sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）
＝cos2（α＋β）［tan2（α＋β）－3tan（α＋β）－3］
＝
［tan2（α＋β）－3tan（α＋β）－3］
＝
［（
）2－3×
－3］＝－3
［例5］已知α、β为锐角，cosα＝
，tan（α－β）＝－
，求cosβ的值.
解：
由α为锐角，cosα＝
，∴sinα＝
.
由α、β为锐角，又tan（α－β）＝－
∴cos（α－β）＝
，sin（α－β）＝－
∴cosβ＝cos［α－（α－β）］＝cosα·cos（α－β）＋sinα·sin（α－β）
＝
×
＋
×（－
）＝
Ⅲ.课堂练习
1.若方程x2＋mx＋m＋1＝0的两根为tanα、tanβ.求证sin（α＋β）＝cos（α＋β）.
解：
由题意可知
由：
tan（α＋β）＝
得：
tan（α＋β）＝
＝1
即：
sin（α＋β）＝cos（α＋β）
∴命题得证.
评述：
要注意已知条件与所求结论中涉及三角函数的关系，选择适当的关系式进行转化.
2.若△ABC的三内角成等差数列，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋
，求角A、B、C的大小.
分析：
由A、B、C为△ABC的三内角，可知A＋B＋C＝180°，又已知A、B、C为等差数列，即2B＝A＋C，所以B＝60°且A＋C＝120°与已知条件中的tanAtanC＝2＋
可联系求出tanA、tanC，从而确定A、C.
解：
由题意知：
解之得：
B＝60°且A＋C＝120°
∴tan（A＋C）＝tan120°＝－
＝
又∵tanAtanC＝2＋
∴tanA＋tanC＝tan（A＋C）（1－tanAtanC）
＝tan120°（1－2－
）＝－
（－1－
）＝3＋
∵tanA、tanC可作为一元二次方程x2－（3＋
）x＋（2＋
）＝0的两根
又∵0＜A＜B＜C＜π
∴tanA＝1，tanC＝2＋
即：
A＝45°，C＝75°
答：
A、B、C的大小分别为45°、60°、75°.
评述：
要注意挖掘隐含条件，联想相关知识，构造方程等等.
3.如果sinα＋sinβ＝a，cosα＋cosβ＝b，ab≠0，则cos（α－β）等于（）
A.
B.
C.
D.
－1
分析：
由已知条件中的两关系式结合同角三角函数的平方关系式sin2α＋cos2α＝1不难求得cos（α－β），再利用平方关系求得sin（α－β）.
解：
由
得：
a2＋b2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ
＝2＋2cos（α－β）
∴cos（α－β）＝
－1
评述：
遇到这种已知条件式时，往往要结合同角三角函数平方关系式.
Ⅳ.课时小结
在解决三角函数问题时，常常要将和角公式、差角公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等等综合使用.
Ⅴ.课后作业
课本P1019，10，11，13
两角和与差的余弦、正弦、正切
（二）
1．cos（－15°）等于（）
A.
B.
C.
D.
2．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC的形状为（）
A.直角三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.以上均可能
3．sin
－
cos
的值是（）
A.0B.－
C.
D.2
4．若tan（α＋β）＝
，tan（β－
）＝
，则tan（α＋
）等于（）
A.
B.
C.
D.
5．
的值是（）
A.2
B.－2
C.
D.－
6．已知cosθ＝－
，且θ∈（π，
π），则tan（θ－
）=.
7．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于.
8．若cos（α－β）＝
，cos（α＋β）＝－
，则tanα·tanβ＝.
9．已知cosα－cosβ＝
，sinα－sinβ＝－
，则cos（α－β）＝.
10．已知：
＜β＜α＜
，且cos（α－β）＝
，sin（α＋β）＝－
，计算sin2α的值.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋（4m＋1）x＋2m＝0的两个根，且m≠－
.
求
的值.
12．已知3sinβ＝sin（2α＋β），α≠kπ＋
，α＋β≠kπ＋
，k∈Z.
求证：
tan（α＋β）＝2tanα.
两角和与差的余弦、正弦、正切
（二）答案
1．D2．B3．B4．C5．B6．
7．－
8．
9．
10．已知：
＜β＜α＜
，且cos（α－β）＝
，sin（α＋β）＝－
，计算sin2α的值.
利用sin2α＝sin［（α－β）＋（α＋β）］可求得sin2α＝－
.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋（4m＋1）x＋2m＝0的两个根，且m≠－
.
求
的值.
解：
由题知tanα＋tanβ＝－（4m＋1），tanα·tanβ＝2m
＝
＝
＝
＝
12．已知3sinβ＝sin（2α＋β），α≠kπ＋
，α＋β≠kπ＋
，k∈Z.
求证：
tan（α＋β）＝2tanα.
sinβ＝sin［（α＋β）－α］
sin（2α＋β）＝sin［（α＋β）＋α］两边展开、移项，
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