步步高江苏专用理高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七第3讲坐标系与参数方程Word下载.docx

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（1）圆心位于极点，半径为r：

ρ＝r；

（2）圆心位于M（r,0），半径为r：

ρ＝2rcosθ；

（3）圆心位于M，半径为r：

ρ＝2rsinθ.

3．常见曲线的参数方程

（1）圆x2＋y2＝r2的参数方程为（θ为参数）．

（2）圆（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2的参数方程为（θ为参数）．

（3）椭圆＋＝1的参数方程为（θ为参数）．

（4）抛物线y2＝2px的参数方程为（t为参数）．

（5）过定点P（x0，y0）的倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）．

4．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标

系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直

角坐标、极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则

，.

考点一极坐标与直角坐标的互化

例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos（θ＋）＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．

解∵ρcos（θ＋）＝ρcosθcos－ρsinθsin

＝ρcosθ－ρsinθ

＝3，

∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.

又∵ρsin2θ＝8cosθ，

∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.

∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.

解方程组，

得或，

所以A（2，－4），B（18,12），

所以AB＝＝16.

即线段AB的长为16.

（1）在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．

（2）在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．

（1）（2012·

陕西改编）求直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长．

解直线2ρcosθ＝1可化为2x＝1，即x＝；

圆ρ＝2cosθ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，

化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x.

将x＝代入x2＋y2＝2x得y2＝，∴y＝±

.

故弦长为2×

＝.

（2）（2012·

湖南）在极坐标系中，曲线C1：

ρ（cosθ＋sinθ）＝1与曲线C2：

ρ＝a（a>

0）的一个交点在极轴上，求a的值．

解ρ（cosθ＋sinθ）＝1，

即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，

0）对应的普通方程为x2＋y2＝a2.

在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.

将代入x2＋y2＝a2得a＝.

考点二参数方程与普通方程的互化

例2　

（1）（2013·

江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

解因为直线l的参数方程为（t为参数），由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.

联立方程组

解得公共点的坐标为（2,2），.

（2）已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

解由于直线l的参数方程为（t为参数），

故直线l的普通方程为x＋2y＝0.

因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，

故可设P（2cosθ，sinθ），其中θ∈R.

因此点P到直线l的距离是d＝

所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.

（1）参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．

（2）参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．

（1）（2013·

广东改编）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1,1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．

解由（t为参数），得曲线C的普通方程为x2＋y2＝2.则在点（1,1）处的切线l的方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，故l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－2＝0.

（2）（2013·

课标全国Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线C：

（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0<

α<

2π），M为PQ的中点．

①求M的轨迹的参数方程；

②将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

解①依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），

因此M（cosα＋cos2α，sinα＋sin2α）．

M的轨迹的参数方程为

（α为参数，0<

2π）．

②M点到坐标原点的距离

d＝＝（0<

当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

考点三极坐标与参数方程的综合应用

例3在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．

M是C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.

（1）求C2的参数方程；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

解

（1）设P（x，y），则由条件知M.由于M点在C1上，

所以即

从而C2的参数方程为（α为参数）

（2）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.

所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2.

（1）曲线参数方程有很多优点：

①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．

②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：

直线参数方程（α为倾斜角，t为参数），其中|t|＝PM，P（x，y）为动点，M（x0，y0）为定点．

（2）求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．

湖北改编）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数，a>

b>

0），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin（θ＋）＝m（m为非零常数）与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，求椭圆C的离心率．

解椭圆C的标准方程为＋＝1，直线l的标准方程为x＋y＝m，圆O的方程为x2＋y2＝b2，

由题意知，

∴a2－b2＝2b2，a2＝3b2，

∴e＝＝＝＝.

（2）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ（cosθ＋sinθ）＝1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．

①求线段AB的长；

②求点M（－1,2）到A、B两点的距离之积．

解①由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为y＝x2（x≠0），

由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－1＝0，则曲线C2的参数方程为（t为参数），将其代入曲线C1的普通方程得t2＋t－2＝0，

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则t1＋t2＝－，t1t2＝－2，

所以AB＝|t1－t2|

＝＝.

②由①可得MA·

MB＝|t1t2|＝2.

1．解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．

2．极坐标方程与普通方程互化核心公式：

3．过点A（ρ0，θ0），倾斜角为α的直线方程为ρsin（θ－α）＝ρ0sin（θ0－α）．特别地，①过点A（a,0），垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.②平行于极轴且过点A（b，）的直线l的极坐标方程为ρsinθ＝b.

4．圆心在点A（ρ0，θ0），半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ－2ρρ0cos（θ－θ0）．

5．重点掌握直线的参数方程（t为参数），理解参数t的几何意义.

1．在极坐标系中，求过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．

解把ρ＝6cosθ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcosθ，

所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，

即（x－3）2＋y2＝9，圆心为（3,0），

故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3.

2．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为ρ＝，点P（1＋cosα，sinα），参数α∈[0,2π）．

（1）求点P轨迹的直角坐标方程；

（2）求点P到直线l距离的最大值．

解

（1）由

得点P的轨迹方程（x－1）2＋y2＝1.

（2）由ρ＝，得ρ＝，

∴ρsinθ＋ρcosθ＝9.

∴曲线C的直角坐标方程为x＋y＝9.

圆（x－1）2＋y2＝1的圆心（1,0）到直线x＋y＝9的距离为4，

所以（PQ）min＝4－1.

（推荐时间：

60分钟）

1．（2013·

湖南改编）在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：

（s为参数）和直线l2：

（t为参数）平行，求常数a的值．

解由消去参数s，得x＝2y＋1.

由消去参数t，得2x＝ay＋a.

∵l1∥l2，∴＝≠，∴a＝4.

2．（2012·

江苏）如图，在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆

心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

解在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，

所以圆C的圆心坐标为（1,0）．

因为圆C经过点P，

所以圆C的半径

PC＝＝1，

于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

3．在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．

解由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，

从而c＝＝4，所以右焦点为（4,0）．

将已知直线的参数方程化为普通方程：

x－2y＋2＝0.

故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝（x－4），

即x－2y－4＝0.

4．（2013·

重庆改编）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求AB的长．

解将极坐标方程ρcosθ＝4化为直角坐标方程得x＝4，将x＝4代入得t＝±

2，从而y＝±

8.所以A（4,8），B（4，－8）．所以AB＝|8－（－8）|＝16.