苏科版八年级数学上册 全等三角形专题练习解析版Word格式.docx

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【详解】

（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0

∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）①如图1中，

∵∠APB＝45°

，∠POB＝90°

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

故答案为（4，0）．

②∵a＝﹣2，b＝4

∴OA＝2OB＝4

又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°

∴只有两种情况，∠ABP＝90°

或∠BAP＝90°

①如图2中，若∠ABP＝90°

，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°

又∵∠APB＝45°

∴∠BAP＝∠APB＝45°

∴BA＝BP，

又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°

∴∠ABO＝∠BPC，

∴△ABO≌△BPC（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，

∴P（4，2）．

②如图3中，若∠BAP＝90°

，过点P作PD⊥OA，垂足为D．

∴∠PDA＝∠AOB＝90°

∴∠ABP＝∠APB＝45°

∴AP＝AB，

又∵∠BAD+∠DAP＝90°

∠DPA+∠DAP＝90°

∴∠BAD＝∠DPA，

∴△BAO≌△APP（AAS），

∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，

∴P（2，﹣2）．

综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°

，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE＝FE；

（2）

（1）中的结论仍然成立．理由见解析；

（3）

（1）中的结论仍然成立．理由见解析

（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°

，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；

（2）思路同

（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°

，在等腰△CFE中，∠CEF=45°

，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出

（1）中的结论了；

（3）思路同

（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°

+∠CNF=90°

+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与

（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与

（1）也相同．

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝FE；

解法1：

∵∠AED＝∠ACB＝90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径，

∵点F是BD的中点，

∴点F是圆心，

∴EF＝CF＝FD＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，

由圆周角定理得：

∠DCE＝∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°

∴∠ECF＝45°

＝∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝EF．

解法2：

易证∠BED＝∠ACB＝90°

∴CF＝EF＝FB＝FD，

∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，

∴∠DFE＝2∠ABD，

同理∠CFD＝2∠CBD，

∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°

即∠CFE＝90°

（2）

（1）中的结论仍然成立．

如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，

∵∠ACB＝∠AED＝90°

∴DE∥BC，

∴∠EDF＝∠GBF，

又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，

∵AC＝BC，

∴CE＝CG，

∴∠EFC＝90°

，CF＝EF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°

∴CE＝FE；

如图2﹣2，连结CF、AF，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°

+45°

＝90°

又点F是BD的中点，

∴FA＝FB＝FD，

而AC＝BC，CF＝CF，

∴△ACF≌△BCF，

∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°

∵FA＝FB，CA＝CB，

∴CF所在的直线垂直平分线段AB，

同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，

又DA⊥BA，

∴EF⊥CF，

（3）

（1）中的结论仍然成立．

如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，

∵DF＝BF，

∴FM∥AB，且FM＝AB，

∵AE＝DE，∠AED＝90°

∴AM＝EM，∠AME＝90°

∵CA＝CB，∠ACB＝90°

∴CN=AN=AB，∠ANC＝90°

∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，

∴四边形MFNA为平行四边形，

∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，

∴∠EMF＝∠FNC，

∴△EMF≌△FNC，

∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，

由MF∥AN，∠ANC＝90°

，可得∠CPF＝90°

∴∠FCN+∠PFC＝90°

∴∠EFM+∠PFC＝90°

∴CE＝FE．

本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．

3．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝,∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）如图2，在图1的基础上，延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.

（3）连接OE，直接写出线段OE的最小值．

（1）证明见解析；

（2）PQ=6；

（3）OE=

试题分析：

根据即可证得

首先过点作于，由等腰三角形的性质，即可求得则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得的长．

时，取得最小值.

试题解析：

证明：

∵△ABC与△DCE是等腰三角形，

∴AC=BC,DC=EC,

∴∠ACD=∠BCE；

在△ACD和△BCE中，

首先过点作于，

（2）过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，

∴在中,

最小值为：

4．已知：

平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．

（1）如图1，求证：

OA是第一象限的角平分线；

（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．

（1）证明见解析

（2）答案见解析（3）8

（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,

根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；

（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM与NE交于K，则∠MKN＝180°

﹣2∠ONE＝90°

﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°

；

（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：

NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．

解：

（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0

∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0

∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0

∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0

∴a＝b＝4

过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM

∴OA平分∠MON

即OA是第一象限的角平分线

（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H

∴∠OAH＝∠HAB＝45°

∵BM⊥AE

∴∠ABH＝∠OAE

在△AOE与△BAH中

∴△AOE≌△BAH（ASA）

∴AH＝OE

在△ONE和△AMH中

∴△ONE≌△AMH（SAS）

∴∠AMH＝∠ONE

设BM与NE交于K

∴∠MKN