武汉中考圆专题教师用.docx
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2006-2015武汉中考圆专题
(06年中考)1、已知:
OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是射线OA上一点(点A除外),直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA与点E。
(1)如图①,若点P在线段OA上,求证:
∠OBP+∠AQE=45°;
(2)若点P在线段OA的延长线上,其它条件不变,∠OBP与∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系?
请你完成图②,并写出结论(不需要证明)。
A
A
B
B
O
O
P
P
E
Q
第1题图
图①
图②
(07年中考)A
B
D
C
E
F
G
O
(第22题图)
2、如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12。
以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E。
(1)求证:
直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠E的值。
F
E
D
C
B
A
O
(08年中考)3、如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.⑴求证:
DE是⊙O的切线;⑵若,求的值。
22.⑴略;⑵
(09年中考)4、如图,中,,以为直径作交边于点,是边的中点,连接.
C
E
B
A
O
F
D
(1)求证:
直线是的切线;
(2)连接交于点,若,求的值.
22.证明:
(1)连接.
是的直径,,
点是的中点,.
.
直线是的切线.
(2)作于点,
由
(1)知,,.
,且.
.
,,.
.
.
.
(10年中考)5、如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.
(1)求证:
直线PB与⊙O相切;
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
(11年中考)6、如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E,
(1)求证:
PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=,求sin∠E.
(12年中考)7、在锐角三角形ABC中,BC=4,sin∠A=,
(1)如图1,求三角形ABC外接圆的直径;
(2)如图2,点I为三角形ABC的内心,BA=BC,求AI的长.
22.(本题满分8分)
(1)解:
作△ABC的外接圆直径CD,连接BD.
则∠CBD=90°,∠D=∠A.
∴.
∵BC=5,∴CD=.即△ABC的外接圆的直径为CD=.
(2)连接BI并延长交AC于H,作IE⊥AB于E.
∵I为△ABC的内心,∴BI平分∠ABC.
∵BA=BC,∴BH⊥AC,∴IH=IE.
在Rt△ABH中,BH=,AH=.
∵.
∴,即:
.
∵IH=IE∴IH=.
在Rt△AIH中,由勾股定理得,
(13年中考)8、如图,在平面直角坐标系中,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是的中点,连接PA,PB,PC.
(1)如图①,若∠BPC=60°,求证:
;
(2)如图②,若,求的值.
22.(本题满分8分)
(1)证明:
∵弧BC=弧BC,∴∠BAC=∠BPC=60°.
又∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°,∵点P是弧AB的中点,∴∠ACP=30°,
又∠APC=∠ABC=60°,∴AC=AP.
(2)解:
连接AO并延长交PC于F,过点E作EG⊥AC于G,连接OC.
∵AB=AC,∴AF⊥BC,BF=CF.
∵点P是弧AB中点,∴∠ACP=∠PCB,∴EG=EF.
∵∠BPC=∠FOC,
∴sin∠FOC=sin∠BPC=.
设FC=24a,则OC=OA=25a,
∴OF=7a,AF=32a.
在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2,∴AC=40a.
在Rt△AGE和Rt△AFC中,sin∠FAC=,
∴,∴EG=12a.
∴tan∠PAB=tan∠PCB=.
(14年中考)9、如图,AB是⊙O的直径,C、P是弧AB上两点,AB=13,AC=5
(1)如图
(1),若点P是弧AB的中点,求PA的长
(2)如图
(2),若点P是弧BC的中点,求PA得长
(15年中考)10、如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB
(1)求证:
AT是⊙O的切线
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC的值
21.【思路分析】
(1)由AB=AT,知∠ATB=∠B=45°,故∠BAT=90°,AT是⊙O的切线;
(2)设⊙O半径为r,延长TO交⊙O于D,连接AD,则∠CAD=∠BAT=90°,∠TAC=∠OAD=∠D.通过△TAC∽△TDA,说明TA2=TC·TD,即4r2=TC(TC+2r),可以用r表示TC,tan∠TAC=tan∠D=.
证明:
(1)∵AB=AT,
∴∠ATB=∠B=45°,
∴∠BAT=90°,
∴AT是⊙O的切线;
(2)设⊙O半径为r,延长TO交⊙O于D,连接AD.
∵CD是直径,
∴∠CAD=∠BAT=90°,
∴∠TAC=∠OAD=∠D.
又∠ATC=∠DTA,
∴△TAC∽△TDA,
∴,
∴TA2=TC·TD,即即4r2=TC(TC+2r),
解得TA=,
∴tan∠TAC=tan∠D===.
备考指导:
(1)圆的切线的判定方法有三种:
①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;这种方法不常用.②若圆心到直线的距离等于圆的半径,则这条直线是圆的切线;这种证明方法通常是在直线和圆没有公共点时,通过“作垂直,证半径”的方法来证明直线是圆的切线.
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.这种证明方法通常是在直线和圆有公共点,通过“连半径,证垂直”的方法来证明直线是圆的切线.
(2)涉及角的三角函数时,应该把这个角放在直角三角形中来考虑,如果这个角不在直角三角形中,可以在其他直角三角形中用它的等角来替换,最终把三角函数关系转化为直角三角形边的比值来解答.
(16年中考)11、如图,点C在以AB为直径的⊙O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E.
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)连接BE交AC于点F,若cos∠CAD=,求的值.
【考点】切线的性质;考查了切线的性质,平行线的性质和判定,勾股定理,圆周角定理,圆心角,弧,弦之间的关系的应用
【答案】
(1)略;
(2)
【解析】
(1)证明:
连接OC,则OC⊥CD,又AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠CAD=∠OCA,又OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠CAD=∠CAO,∴AC平分∠DAB.
(2)解:
连接BE交OC于点H,易证OC⊥BE,可知∠OCA=∠CAD,
∴COS∠HCF=,设HC=4,FC=5,则FH=3.
又△AEF∽△CHF,设EF=3x,则AF=5x,AE=4x,∴OH=2x
∴BH=HE=3x+3OB=OC=2x+4
在△OBH中,(2x)2+(3x+3)2=(2x+4)2
化简得:
9x2+2x-7=0,解得:
x=(另一负值舍去).
∴.