第四讲 函数一.docx

第四讲 函数一.docx

《第四讲 函数一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四讲 函数一.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第四讲函数一

第四讲函数

（一）

4.1平面直角坐标系

基础盘点

1．坐标平面内的点与___________一一对应．

2．根据点所在位置填表．

点的位置

横坐标符号

纵坐标符号

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

3．X轴上的点____坐标为0，y轴上的点____坐标为0.

4.点关于x轴对称的点坐标为__________，关于y轴对称的点坐标为__________，关于原点轴对称的点坐标为__________.

5.点到x轴的距离为__________，到y轴的距离为__________.

6.点沿x轴正方向平移n个单位得到_________，沿x轴负方向平移n个单位得到_________；

点沿y轴正方向平移n个单位得到_________，沿y轴负方向平移n个单位得到_________.

考点呈现

考点1平面直角坐标系内点的特征

例1（2015·重庆）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣3，2），则点P所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解析：

∵点的横坐标﹣3＜0，纵坐标2＞0，∴这个点在第二象限．故选：

B．

例2（2015·广安）如果点M（3，x）在第一象限，则x的取值范围是　　　　　　．

解析：

由点M（3，x）在第一象限，得x＞0．故答案为：

x＞0．

点评：

以上两题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

考点2由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置

例3（2015·绵阳）如图1是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是　　　　　　．

图1

解析：

因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），可得中间一列中最上面的一架空炸机的位置是原点，所以可得点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：

（2，﹣1）．

点评：

此题考查坐标问题，关键是根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标关系找出原点的位置、x轴、y轴所在直线，建立平面直角坐标系，从而解答C的坐标．

例4（2015·威海）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解析：

由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1，b＞2．由不等式的性质，得﹣a＞1，b+1＞3，点B（﹣a，b+1）在第一象限，故选：

A．

点评：

本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．

例5（2015·铁岭）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（-1，1），（-1，-1），（1，-1），则顶点D的坐标为_____________.

解析：

∵正方形两个顶点的坐标为A（-1，1），B（-1，-1），

∴AB=1-（-1）=2，

∵点C的坐标为：

（1，-1），

∴第四个顶点D的坐标为：

（1，1）．故答案为：

（1，1）．

点评：

解答此类题要根据图形的性质特征，弄清边的长度和位置关系，再结合平面直角坐标系的特征：

当两个点的横坐标相等时，其两点之间的距离为纵坐标的差．

考点3平移、旋转、对称变换下点的坐标关系

例6（2015·安顺）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）

解析：

根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1=﹣3，纵坐标是﹣3+3=0，即新点的坐标为（﹣3，0）．故选A．

点评：

点的坐标变化规律：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

例7（2015·天津）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（　　）

A．（3，2）B．（2，-3）C．（-3，-2）D．（3，-2）

解析：

将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，

∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．故选：

D．

点评：

本题考查了图形的旋转与坐标变化，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．

例8（2015·株洲）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是　　　　　　．

解析：

根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，得点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），故答案为：

（3，2）．

点评：

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

考点4点到坐标轴的距离

例9（2015广西柳州）如图2，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（　　）

A．﹣2B．1C．2D．

图2

解析：

根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度，得到点A（﹣2，1）到y轴的距离为2，故选C.

.点评：

点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度.

误区点拨

1．混淆点的变化规律而导致出错

例1（2015·大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位，所得的点的坐标是（　　）

A．（1，2）B．（3，0）C．（3，4）D．（5，2）

错解：

C

剖析：

将点P（3，2）向右平移2个单位后，纵坐标不变，横坐标加上2即可得到平移后点的坐标．故正确答案为D.

2．考虑问题不全面致错

例2点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧，则P点的坐标是　　　　　　．

错解：

（-3，2）.

剖析：

本题应分两种情况，即点在第二象限或第三象限，错解只考虑了前一种情况，而忽视了后一种情况.故填（-3，2）或（-3，-2）．

跟踪训练

1.（2015·金华）点P（4，3）所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.（2015·北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（　　）

A．景仁宫（4，2）B．养心殿（﹣2，3）

C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3.5，﹣4）

第2题图第3题图

3.（2015·来宾）如图，在平面直角坐标系中，将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（　　）

A．（2，-1）B．（2，3）C．（0，1）D．（4，1）

4.（2015·孝感）在平面直角坐标系中，把点P（-5，3）向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转90°得到点，则点的坐标是（　　）

A．（3，-3）B．（-3，3）

C．（3，3）或（-3，-3）D．（3，-3）或（-3，3）

5.（2015·绥化）点A（-3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为　　　　　　．

6.（2015·台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是　　　　　　．

第6题图

4.2函数与图象

基础盘点

1．在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有_______的值与

其对应，那么就称______是自变量，______是x的函数．

2．确定自变量的取值范围：

（1）取值范围的定义：

使函数关系式________的自变量的取值的全体；

（2）一般原则：

整式为_______,分式的分母不能为______，开偶次方的被开方数为______,使实际问题有意义．

3．函数的三种表示方法分别为_________、__________、____________.

4.描点法画函数图象的一般步骤是_________、__________、____________.

考点呈现

考点1函数自变量取值范围的求法

例1（2015·黔南州）函数y=+的自变量x的取值范围是（　　）

A．x≤3B．x≠4C．x≥3且x≠4D．x≤3或x≠4．

解析：

首先根据当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，可得3﹣x≥0；然后根据自变量取值要使分母不为零，可得x﹣4≠0，因此要使函数y=+有意义，则所以x≤3.故选A．

点评：

自变量的取值范围分四种情况：

（1）当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．

（2）当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．（3）当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．（4）对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．

考点2确定函数图象的大致形状

例2（2015·漳州）均匀地向如图1所示的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（　　）

ABCD

图1

解析：

由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段，最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选A．.

点评：

此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．

例3（2015新疆、生产建设兵团）如图2，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（　　）

ABCD

图2

解析：

∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影

长l与行走的路程S之间的变化关系应为：

当小红走到灯下以前：

l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：

l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．故选C．

点评：

此题主要考查了函数图象，根据实际情况去分别讨论l随S的变化，掌握规律是解决问题的关键．

考点3由图象获取信息

例4（2015·襄阳）如图3，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）

A．凌晨4时气温最低为﹣3℃

B．14时气温最高为8℃

C．从0时至14时，气温随时间增长而上升

D．从14时至24时，气温随时间增长而下降

解析：

A．∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，

∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确；

B．∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；

C．∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上上升，不是从0点，故本选项错误；

D．∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．

故选C．

点评：

本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键．

误区点拨

1．确定函数自变量取值范围考虑不全面致