微专题空间中的翻折问题文档格式.docx

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典型例题

题型一：

基本概念

1•关于折叠问题，下列说法正确的是（）

1翻折前后同在一个平面内的几何元素的位置关系不变；

2翻折前后同在一个平而内的几何图形的度量结果不变：

3翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系可能不变；

©

翻折前后不同在一个平而内的几何元素的位置关系肯左变化。

A.①②③④B.①②④C.①②③④D.②③④

答案：

A

2.如图所示：

在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将AABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，则GH与IJ所成的角的度数为

60。

解析：

在平而图形中HG与DF平行，IJ与DB平行，折叠后平行程度不变，所以DB与DF所成的角就是异而直线GH、IJ所成的角。

因为三角形ABC为正三角形，所以为60。

。

题型二：

翻折中的证明。

2.如图，在直角三角形ABC中，VC=90o,D、E分别为AC、AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ΔABC沿DE折起到AA]DE的位這，使A1FlCD,如图.

（1）求证：

DEIl平面AICB.

（2）求证：

AIFIBE

CB

解析：

（1）因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DEllBC.又因为DE0平而AiCB,CBU平面A1CB,所以DEll平面AICB

（2）由已知得AC丄BC且DEilBG所以DE丄AC.又因为DEIAIDZDEICD,且AιD∩CD=Dz所以DE丄平而AlDC而

AlFU平而AlDC,所以DE丄AiF.又因为AIFICDzCD∩DE=Dz所以AIF丄平而BCDE,又BEU平而BCDE,所以AiFlDE.题型三：

翻折中的计算，求值。

2•如图（24）所示，一个边长为4的正方形ABCD,E.F分别为BC、CD的中点，将正方形沿AE、AFX

EF折叠起来，使B、CXD重合于P点（如图2-2）＞则三棱锥P-AEF的体积为?

?

S

三棱锥P-AEF是由正方形折叠而来的所以

ZEPF=ZECF=90°

ZAPE=ZABE=900zZAPF=ZADF=90°

所以APlPEzAP丄PF•又PEnPF=RPEfFU平而PEE所以APj-THljPEE所以Vp-A≡F=VA-PEF=~∙^psf∙AP~×

-×

2×

Δ

3•如图（3-1）,在矩形ABCD中，AB=2zBC=l,E是DC的中点：

如图（3・2）将ADAE沿AE折起，使平面DAE丄

平而ABCE,则异而直线AE和DB所成角的余弦值为？

E

3-1

3-2

AB

3-3

取AE得中点6连接DO,BO.延长EC到F使EC=CF＞连接BF,DF,0F,则BFIIAE,所以乙DBF或它的补角为异而直线AE和DB所成的角。

因为DA=DE=I,ZADE=90°

所以DOIAE

且AO=DO=-.在AABO中，根据余弦左理得COS乙OAB=COS45°

'

°

解得BO=—.IriJ理可得OF=泛22A0AB222

因为平而DAE丄平而ABCE,平而DAEn平而ABCE=AEZDOU平而DAEzDO丄AE,

所以Do丄平面ABCEz因为BOU平而ABCE,所以Do丄B0,所以BD2=BO2+DO24+|=3,所以BD=√3.

同理可得DF=√7,又因为BF=AE=√2z所以在ΔDBF中，COS乙DBF=艺嘉罟匸=•二;

=一乎.因为异面直线所成角的取值范围为（0,f],所以异而直线AE和DB所成的角余弦值为乎•

4.（2018东北三校联考）如图（4-1）,已知四棱锥是由直角梯形ABCS沿着CD折叠而成的，其中

SD=DA=AB=BC=I,ADIIBC,AB丄AD,且二而角S-CD-A的大小为120。

・

（1）求证：

平面ASD丄平而ABCD.

（2）设侧棱SC和底面ABCD所成的角为1求6的正弦值。

（1）ilE明：

由题意可知CDISDZCDlAD.因为ADflSD二D所以CD丄平而ASD,又因为CDU平而ABCDz所以

（2〉过点S作SHIADz交AD的延长线于点H,连接CH。

因为平而ASD丄平而ABCD,平而ASD∩平而ABCD=ADz所以SH丄平面ABCDJ所以乙SCH为侧棱SC和底而ABCD所成的角，即ZSCH=θo由

（1）可知ZADS为二而角S-CD-A的平而角，则ZADS=120°

.在直角三角形SHD中，ZSDH=1800-ZADS=I80o-120o=60°

SD=‰则SH=SDSin60°

=^.在直角三角形SDC中，ZSDC=900,SD=DC=I,所以SC=√2.⅛直角三角形SHC中，sinθ=-

2SC2V24

即8的正弦值为貫

4

5・如图，在矩形ABCD中,AB=2∙AD角点E为AC的中点，现分别沿BE,CE将AABEMDCE翻折,使得点AQ

重合于点F,求二而角E-BC-F的余弦值。

如图（5・3）所示，取BC的中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2>

所以PFlBC,又EB=EC,所以EP丄BC,所以乙EPF为二而角E-BC-F的平面角，又FP=JFB2-gBC）2=J,所以在三角形EPF中，

COS乙EPF="

；

UTFI4+厂沪］所以二面角E-BC-F的余弦值为

2EPFP2X2X=44

题型四：

翻折中的探索性问题

6.已知梯形CEPD如图所示，其中PD=8,CE=6,A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行

折叠，使得平而PABE丄平而ABCD,得到如图所示的几何体.已知当点F满足T=λ→（0<

λ<

1）时，平而DEFIAFAB

平面PCE,求入的值。

因为四边形ABCD为正方形，且平而PABE丄平而ABCD,所以PA、AB、AD两两垂直，且PAllBE,建立如图所

示的空间直角坐标系，得P（Oo4）,C（4AO）IE（402）,D（OAO）,B（4,0,0）,则F（4入,0,0）,→=

DE

fill→

（4,一4,2）,τ=（4九一4,0）,T=（O2）,τ=（-402）,设平而DEF的法向量为m=（×

zy,z）z则由｛nι∙竺得

n=（1,1,2）,因为平面DEF丄平而PCE,所以m・九=1+入+2（2λ-2）=5入・3二0,解得入=二

题型五：

翻折问题中的最值，范用问题。

9（2018云南玉溪模拟）已知梯形ABCD中，ADIlBCZZIABC=ZBAD=^AB=BC=2AD=4,E.F分别是AB、CD上的点，EFIlBCO沿EF将梯形ABCD翻折，使平而AEFDI平而EBCF（如图）。

G是BC的中点，设AE=×

以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积为V.

（1）当x=2时，求证:

DElEG;

⑵求V的最大值。

（3）当V取得最大值时，求异而直线AE与BD所成的角的余弦值。

C

G

<

1）证明：

过D作DH丄EF,垂足为H,连接BH,GH,因为平面AEFDI平而EBCF,结合EGU平而EBCF,得EG丄DH,易知EH=AD弓BC=BG=2,因为EFllBC,ZEBC=90°

BE=AE=2,所以四边形BGHE为正方形，所以EG丄BH,又因为BHXDHU平而DBH,且BH∩DH=H,所以EG丄平而DBH•因为BDU平而DBH,所以EGdBD.

（2）由

（1）知，四边形AEHD是矩形，所以DH=AE,所以以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高DH二AE=x,又因为SdCF=?

8C・BE=扌X4X（4-%）=8∙2x,所以V⅛SδBCF∙DH=^BcF∙AE=⅛-

匕ZSSS

2x）×

=-∣x2+∣×

=-∣（x—2）2+∣,W为OVxV4,所以当x=2时，V有最大值，为专.

（3）由

（2）知，当V取得最大值时AE=2,故BE=2,结合DHllAE,可得乙BDH或其补角是异而直线AE与BD所成的角。

在直角三角形BEH中，BH=^BE2+EH2=4BE2+AD2=2√2.因为DH丄平面EBCF,BHU平IfilEBCF,所以DH丄BH,

在直角三角形BEH中，BD=√FH2+DH2=√FH2+>

1E2=2√3,所以COSZBDH=^=所以异而直线BD2√33

AE与BD所成的角的余弦值为次

题型六：

翻折问题中的存在性问题

10・如图所示，在直角三角形ABC中，乙090。

，AC=4,BC=2,E是AC的中点，F是线段AB±

的一个动

点，且T=At（OVAVI）,沿BE将ACEB翻折至ADEB,使得平而DEB丄平面ABE.AFAB

（1）当入=扌时，证明：

EF丄平而DEB.

（2）是否存在入，使得三棱锥D-BEF的体积是£

若存在，求出入的值;

若不存在，请说明理由。

CB

B

（1）证明：

在AABC中，ZACB=90。

即AC丄BC,则BDIDEO取BE中点N,连接CN,交BE于点IVL当入=扌时，F是AN的中点，而E是AC的中点，所以EF是AANC的中位线，所以EFIICNO又在ΔBEF中，N是BF的中点，所以M是EB的中点，在直角三角形BCE中，EC=BC=2,所以，CMlBE,所以EF丄BE.又因为平而DBE丄平而ABE,平面DBE∩平而ABE=BE>

EFU平而ABE,所以EF丄平面DBE.

（2）存在A=?

使得三棱锥D-BEF的体积是乎•连接DM,由⑴知CMlBE,所以DMlBE.

（1）证明：

平而ACD丄平而ABC;

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=∣DA,求三棱锥D-ABP的体积.

因为在平行四边形ABCM中，乙AeM二90°

所以ZBAC=9θ∖所以ABIACXABlDA,ADrJAC=A,所以AB丄平而ADC,又ABU平而ABC,所以平而ACD丄平而ABC.

（3）由已知知得，DC=CM=AC=3zZACM=90∖^rl^AD=AM=3√2,所以BP=DQ=-DA=2√2.由

（1）

3

及已知条件可得DClAB,又DC丄CA,AB∩CA=A,所以De丄平面ABG如图，作QElAC,垂足为E,则QE平行且等于AC,所以QE丄平而ABC,且QE=1＞于是，三棱锥QABP的体积

V=-SδλFP×

QE=-×

-SδAHC×

Ξ×

i×

3×

l=lt又因为AlBnBC=B,AlBU平而333332

A1BC,所以ABi丄平而A1BC,因为ABIU平而ABB1A1,所以平而ABBlAlI平而AIBC

2.（2016全国2文）如图，菱形ABCD的对角线