学年高中数学 第三章 三角恒等变换本章小结 新人教A版必修4doc.docx
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学年高中数学第三章三角恒等变换本章小结新人教A版必修4doc
2019-2020学年高中数学第三章三角恒等变换本章小结新人教A版必修4
►专题归纳
对于三角函数求值主要有三种类型，即“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．三种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
►例题分析
例1已知α∈
，β∈
，且cos
＝
，sin
＝－
，求cos（α＋β）．
分析：
由已知条件要求cos（α＋β），应注意到角之间的关系，α＋β＝
－
，可应用两角差的余弦公式求得．
解析：
由已知α∈
得－α∈
，
∴
－α∈
.
又cos
＝
，∴sin
＝－
.
由β∈
得
＋β∈
，
又
∵sin
＝sin
＝－sin
＝－
，∴sin
＝
，
∴cos
＝
.由
－
＝α＋β，得
cos
＝cos
＝cos
·cos
＋sin
·sin
＝
×
＋
×
＝－
.
点评：
三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键．所谓变换是指函数名称类型的变换及角的变换，两种变换相辅相成，互相利用．
例2 已知0<α<
，0<β<
，且3sinβ＝sin（2α＋β），4tan
＝1－tan2
，求α＋β的值．
分析：
本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sinβ＝sin（2α＋β）展开后求α＋β的正切值．
解析：
∵3sinβ＝sin（2α＋β），
即3sin
＝sin（α＋β＋α），
整理得2sin（α＋β）cosα＝4cos（α＋β）sinα.
即tan（α＋β）＝2tanα.
又∵4tan
＝1－tan2
，∴tanα＝
＝
，
tan（α＋β）＝2tanα＝2×
＝1.
又∵α＋β∈
，∴α＋β＝
.
点评：
对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．
►跟踪训练
1．已知cos
＋sinα＝
，则sin
的值是（C）
A．－
B.
C．－
D.
解析：
∵cos
＋sinα＝
.
∴
cosα＋
sinα＝
，
＝
，
sin
＝
，∴sin
＝
，
∴sin
＝－sin
＝－
.故选C.
►专题归纳
三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变换，使之变为较简单的形式．化简三角函数式的常用方法有：
①直接应用公式；②切割化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方去根号．
三角函数式的化简是三角变换中非常重要的一种题型，是高考命题的热点，它常与三角函数的图象和性质联系出题，题型灵活多变，因而三角函数的化简也是需要掌握的基本知识和基本技能．
►例题分析
例3 化简：
.
分析：
本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及
内在联系上探求.
－α与
＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类．或
－α与
＋
α均化为α的三角函数．
解析：
方法一
原式＝
＝
＝
＝
＝1.
方法二 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝1.
点评：
（1）切弦共存时，两种方法均采用了切化弦这种技巧．
（2
）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，以上三个公式熟练地交替使用，可使问题得以顺利解决．
（3）一公式结构的三角函数式化简一般需要分子、分母出现可约式，再进行约分．
例4 化简（tan10°－
）·
.
分析：
本题中含有正切、正弦、余弦，一般先切化弦，还要注意到特殊值，联想到表示特殊角的三角函数．
解析：
原式＝
·
＝
＝
＝
＝
＝－2.
►跟踪训练
2.
·
＝（B）
A．tanα B．tan2α
C．1 D.
解析：
原式＝
·
＝
＝tan2α.故选B.
►专题归纳
三角函数等式的证明，包括
无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与欲证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法，消元法等方法进行证明．
►例题分析
例5 求证：
·
·
＝tan
.
分析：
本题主要考查二倍角公式及变形应用，因等式右端为tan
，故可将在左边的角4x，2x，x化为
形式．
证明：
∵左边＝
·
·
＝
＝
＝
＝
＝tan
＝右边．
∴等式成立．
点评：
要熟练掌握下列二倍角公式的变形．
sinα＝
，cosα＝
，
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，
cos2α＝
，sin2α＝
.
例6 已知tan（α＋β）＝2tanβ，求证：
3sinα＝
sin（α＋2β）．
分析：
观察条件与结论间的差异可知：
（1）函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同．
（2）角的差异是α＋β，β；α，α＋2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：
（α＋β）－β＝α；（α＋β）＋β＝α＋2β，由此可化异为同．
证明：
由已知tan（α＋β）＝2tanβ可得
＝
，
∴sin（α＋β）·cosβ＝2cos（α＋β）·sinβ.
而sin（α＋2β）＝sin[（α＋β）＋β]
＝sin（α
＋β）·cosβ＋cos（α＋β）·s
inβ
＝2cos（α＋β）·sinβ＋cos（α＋β）·sinβ
＝3cos（α＋β）·sinβ，
又sinα＝sin[（α＋β）－β]
＝sin（α＋β）·cosβ－cos（α＋β）·sinβ
＝2cos（α＋β）·sinβ－cos（α＋β）·sinβ
＝cos（α＋β）·sinβ，故sin（α＋2β）＝3sinα.
点评：
三角式的证明要注意观察函数的特点，角的特点，结构特点．
►跟踪训练
3．求证：
＝
.
证明：
证法一 右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边．∴原命题成立．
证法二 左边＝
＝
＝
＝
＝右边，
∴原命题成立．
►例题分析
例7
（1）①证明两角和的余弦公式Cα＋β：
cos（α＋
β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；
②由C（α＋β）推导两角和的正弦公式S（α＋β）：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面积S＝
，
·
＝3，且cosB＝
，求cosC.
解析：
（1）①如右图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1（1，0），P2（cosα，sinα），
P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），
P4（cos（－β），sin（－β）），
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α＋β）－1]2＋sin2（α＋β）＝[cos（－β）－cosα]2＋
[sin（－β）－sinα]2，
展示并整理得：
2－
2cos（α＋β）＝2－2（cosαcosβ－sinαsinβ），
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.
②由①易得cos
＝sinα，sin
＝cosα，
sin（α＋β）＝cos
＝cos
＝cos
cos（－β）－sin
sin（－β）
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
（2）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，
则
S＝
bcsinA＝
，
·
＝bccosA＝3>0，
∴A∈
，cosA＝3sinA.
又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝
，cosA＝
.
由题意，cosB＝
，得sinB＝
.
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB＝
.
故cosC＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－
.
例8 已知a＝（
sinωx，1），b＝（cosωx，0），其中ω>0，又函数f（x）＝b·（a－b）＋k是以
为最小正周期的周期函数，当x∈
时，函数f（x）的最小值为－2.
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间．
分析：
本题主要考查平面向量的坐标运算、二倍角公式及三角函数的性质，先化简f（x），然后求解．
解析：
（1）a－b＝（
sinωx，1）－（cosωx，0）
＝（
sinωx－cosωx，1），
∴f（x）＝（cosωx，0）·（
sinωx－cosωx，1）＋k
＝sin
－
＋k.
∴T＝
＝
，∴ω＝2.
∵x∈
，则4x－
∈
，
∴f（x）的最小值为f（0）＝－
－
＋k＝k－1＝－2.
∴k＝－1，∴f（x）＝sin
－
.
（2）当4x－
∈
（k∈Z），
即x∈
（k∈Z）时，函数f（x）为增函数．
∴函数f（x）的单调递增区间是
（k∈Z）．
点评：
求函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）的最值时，若x∉R，要考虑ωx＋φ所在的区间及单调性．
►跟踪训练
4．已知向量
＝（cosα，sinα）（α∈[－π，0]），向量m＝（2，1），n＝（0，－
），且m⊥（
－n）．
（1）求向量
；
（2）若cos（β－π）＝
，0<β<π，求cos（2α－β）．
解析：
（1）∵
＝（cosα，sinα），
∴
－n＝（cosα，sinα＋
）．
∵m⊥（
－n），∴m·（
－n）＝0，
即2cosα＋（sinα＋
）＝0.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②联立方程解得，cosα＝－
，sinα＝－
.
∴
＝
.
（2）∵cos（β－π）＝
，即cosβ＝－
，0<β<π，
∴sinβ＝
，∴
<β<π.又∵sin2α＝2sinα
cosα＝2×
×
＝
，
cos2α＝2cos2α－1＝2×
－1＝
，
∴cos（2α－β）＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ
＝
×
＋
×
＝
＝
.
5．已知向量
m＝（sinA，cosA），n＝（1，－2），且m·n＝0.
（1）求tanA的值；
（2）求函数f（x）＝cos2x＋tanAsinx（x∈R）的值域．
解析：
（1）∵m·n＝0，∴sinA－2cosA＝0，
即sinA＝2cosA．∴tanA＝
＝
＝2.
（2）f（x）＝cos2x＋2sinx
＝1－2sin2x＋2sinx
＝－2
＋
，
∵sinx∈[－1，1]，
∴当sinx＝
时，取得最大值
；
当sinx＝－1时，取得最小值－3.
∴f（x）的值域为
.
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