整理多元函数微分法及其应用81534Word文件下载.docx

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沿

趋向

，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；

（2）找两种不同趋近方式，若

存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。

✧多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：

例1．用

定义证明

例2（03年期末考试三、1，5分）当

时，函数

的极限是否存在？

证明你的结论。

例3设

，讨论

是否存在？

例4（07年期末考试一、2，3分）设

例5．求

3、多元函数的连续性

✧一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

✧在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”

例1．讨论函数

在（0，0）处的连续性。

例2．（06年期末考试十一，4分）试证

在点（0,0）不连续，但存在一阶偏导数。

例3．求

例4．

4、了解闭区域上商连续函数的性质：

有界性，最值定理，介值定理

二、多元函数的偏导数

1、二元函数

关于

的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）

如果极限

存在，则有

（相当于把y看成常数！

所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

）

对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

例1（08年期末考试一、3，4分）已知

，则

例2（06年期末考试十一，4分）试证

，求

。

例4设

例5（03年期末考试，一、2，3分）设

在（1,2）的值为（）。

2、二元函数

的高阶偏导数（二元以上类似定义）

定理：

若两个混合二阶偏导数

在区域D内连续，则有

例1．设

，其中

为常数，求：

例2．设

3、

在点

偏导数存在

连续（07年，04年，02年等）

4、偏导数的几何意义：

表示曲线

处的切线与x轴正向的夹角。

三、全微分

1、

可微分的判定方法

若

，则可判定

可微分。

其中

例1．（08年期末考试十二、6分）证明函数

在（0，0）处可微，但偏导数

在（0，0）处不连续。

例2（07年期末考试七、6分）

，证明：

（1）函数在（0，0）处偏导数存在；

（2）函数在（0，0）处不可微。

2、全微分的计算方法

在

可微，则有

的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。

例1（08年期末考试，一，1，4分）设

例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设

求

例3（06年期末考试，二、2，3分）设

例4（03年期末考试，二、2，3分）函数

在点（1,0,1）处的全微分为

例5．设

，

，求函数：

对变量

的全微分

3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）

✧一阶偏导数

连续

可微

有极限

的一阶偏导数

存在

的方向导数

存在

四、多元复合函数求导法则

1、链式求导法则：

变量树状图法则

（1）

（2）

（3）

例1．（08年期末考试，七，7分）设

具有连续二阶偏导数，求

例2．（08年期末考试，十一，6分）设

是由方程

所确定的函数，其中

可导，求

例3．（07年期末考试，八，7分）设

例4．（06年期末考试，一、1，3分）设

可导，则

（）。

例5．（04年期末考试，三、1，8分）设

可微，方程

确定了

是

的二元可微隐函数，试证明

例6．（03年期末考试，三、2，5分）设

具有连续偏导数，证明方程

所确定的函数

满足

例7记

例8设

，而

和

例9设

例10．设

，又

具有连续的二阶偏导数，求

2．一阶全微分形式不变性：

设

，则不管

是自变量还是中间变量，都有

✧通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。

✧当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。

都可微，求

五、隐函数的求导法则

方法1（直接代公式）：

，其中：

，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。

方法2：

直接对方程两边同时关于x求偏导（记住

）：

2．

方法1（直接代公式）：

方法2：

直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住

3．

建议采用直接推导法：

即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数

的二元方程组，得到

同理可求得

是由

确定的隐函数，求

例2．设有隐函数

，其中F的偏导数连续，求

例3．（04年期末考试，三、1，8分）设

六、多元函数微分学的几何应用

1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线

切线向量

切线向量

3、曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数

法线向量

，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：

例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线

在点（a,0,0）的切线方程

例2（08年期末考试，十、7分）在曲面

上求出切平面，使得切平面与平面

平行。

例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面

在点（1,2,0）处的法线方程。

例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆

的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面

在点（0,a,-a）处的切平面方程。

例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面

上求一点，使得过该点的切平面与已知平面

例7.在曲线

上求点，使该点处曲线的切线平行平面

例8设

具有一阶连续偏导数，且

，对任意实数

有

，试证明曲面

上任意一点

处的法线与直线

相垂直。

例9由曲线

绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，

）处指向外侧的单位法向量，

七、方向导数与梯度

1、方向导数的概念和计算公式

方向的方向导数为：

1设

为

上一点，则

②设

的方向余弦为：

方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系

2、梯度的概念和计算公式

沿什么方向的方向导数最大？

沿梯度方向

的方向导数最大，最大值为梯度的模

例1．求函数

沿曲线

处的切线方向的方向导数。

例2．求函数

在点（2，1）沿方向

例3．设函数

，

（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；

（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？

例4（08年期末考试，一、4，4分）函数

处沿从

到点

方向的方向导数。

例5（07年期末考试，二、4，3分）函数

处沿方向

的方向导数。

例6（06年期末考试，四、7分）函数

处的梯度及沿梯度方向的方向导数。

八、多元函数的极值及其求法

1、掌握极值的必要条件、充分条件

2、掌握求极值的一般步骤

3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法

的极值。

例2（04年期末考试，三、3，6分）．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？

例3．求旋转抛物面

与平面

之间的最短距离。

例4（08年期末考试，六、7分）求

在约束

下的最大值和最小值。

例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球

例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？

例7（03年期末考试，八、10分）求曲线

上距原点最近和最远的点。