国科大图像处理与分析王伟强作业题及答案汇总版Word格式.docx
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5.32
6
4
0.07
0.86
5.88
0.08
0.94
6.52
7
0.04
0.98
6.84
0.02
则新灰度级的概率分别是：
Ps（0）=0
Ps
（1）=Pr（0）=0.17
Ps
（2）=0
Ps（3）=Pr
（1）=0.25
Ps（4）=0
Ps（5）=Pr
（2）=0.21
Ps（6）=Pr（3）+Pr（4）=0.23
Ps（7）=Pr（5）=Pr（6）=Pr（7）=0.14
编写matlab程序并绘制直方图：
s=0:
1:
7;
p=[00.1700.2500.210.230.14];
bar（s,p）;
axis（[-1800.3]）;
可以看出，此图较题目原图更加“均匀”。
【作业2】
1、完成课本数字图像处理第二版114页，习题3.10。
【解答】
由图可知
将两图做直方图均衡变换
令上面两式相等，则
因为灰度级非负，所以
2、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。
（1）[123454321]*[20-2]
（2）
（1）设向量a=[123454321]，下标从-4到4，即a（-4）=1，a（-3）=2……a（4）=1；
设向量b=[20-2]，下标从-1到1，即b（-1）=2，b（0）=0，b
（1）=-2；
设向量c=a*b，下标从-5到5。
根据卷积公式可知
其中，
，则
c（-5）=a（-4）b（-1）=1*2=2
c（-4）=a（-4）b（0）+a（-3）b（-1）=1*0+2*2=4
c（-3）=a（-4）b
（1）+a（-3）b（0）+a（-2）b（-1）=1*（-2）+2*0+3*2=4
c（-2）=a（-3）b
（1）+a（-2）b（0）+a（-1）b（-1）=2*（-2）+3*0+4*2=4
c（-1）=a（-2）b
（1）+a（-1）b（0）+a（0）b（-1）=3*（-2）+4*0+5*2=4
c（0）=a（-1）b
（1）+a（0）b（0）+a
（1）b（-1）=4*（-2）+5*0+4*2=0
c
（1）=a（0）b
（1）+a
（1）b（0）+a
（2）b（-1）=5*（-2）+4*0+3*2=-4
c
（2）=a
（1）b
（1）+a
（2）b（0）+a（3）b（-1）=4*（-2）+3*0+2*2=-4
c（3）=a
（2）b
（1）+a（3）b（0）+a（4）b（-1）=3*（-2）+2*0+1*2=-4
c（4）=a（3）b
（1）+a（4）b（0）=2*（-2）+1*0=-4
c（5）=a（4）b
（1）=1*（-2）=-2
所以卷积结果为：
[244440-4-4-4-4-2]
（2）设矩阵
下标从（-1,-1）到（1,1），即b（-1,-1）=-1，b（-1,0）=0……b（1,1）=1；
设矩阵
下标从（-2,-2）到（2,2），即a（-2,-2）=3，a（-2,-1）=2……a（2,2）=4；
设矩阵c=a*b=b*a，下标从（-3,-3）到（3,3）。
，
c（-3,-3）=a（-2,-2）b（-1,-1）=3*（-1）=-3
……
c（0,0）=a（-1,-1）b（1,1）+a（-1,0）b（1,0）+a（-1,1）b（1,-1）
+a（0,-1）b（0,1）+a（0,0）b（0,0）+a（0,1）b（0,-1）
+a（1,-1）b（-1,1）+a（1,0）b（-1,0）+a（1,1）b（-1,-1）
=3*1+4*2+0*1+2*0+1*0+3*0+1*（-1）+0*（-2）+2*（-1）
=8
c（3,3）=a（2,2）b（1,1）=4*1=4
-1-3-13-204
-3-6-44-4211
-3-7-63-6415
-3-11-48-10317
-7-1125-10615
-8-56-4-698
-3-13-3-242
【作业3】
1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是
根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为
这些闭合形式只适用于连续变量情况。
在证明中假设已经知道如下结论：
函数
的傅立叶变换为
令
，则du=dr，dv=ds，上式写成：
因为后两项是高斯分布，在
到
积分为1，故上式等于：
命题得证。
2、第二版课本习题4.6（a）
先来证明结论
根据欧拉公式展开等式右边
因为x，y均为整数，故
当x+y为奇数时，
当x+y为偶数时，
故
再来证明题中等式
3、观察如下所示图像。
右边的图像这样得到：
（a）用左侧图像乘以
；
（b）计算离散傅里叶变换（DFT）；
（c）对变换取复共轭；
（d）计算离散傅里叶反变换；
（e）结果的实部再乘以
。
用数学方法解释为什么会产生右图的效果。
（忽略中间和右侧的黑白条纹，原题没有）
已知
则傅里叶变换的共轭复数进行傅里叶反变换的结果如下：
设原始图像为
，经过（a）变换后得到
经过（b）变换后得到
经过（c）变换后得到
经过（d）变换后得到
其实部为
，经过（e）变换后得到
最终效果是将原图像上下颠倒，左右颠倒，实现了旋转180度的效果。
【作业4】
1、请用公式列举并描述出你所知道的有关傅里叶变换的性质。
1、时移性
2、频移性
3、均值
4、共轭对称性
5、对称性
6、周期性
7、线性
8、微分特性
9、卷积定理
10、相关定理
11、相似性
12、几种特殊函数的傅里叶变换
2、中文课本173页习题4.21
没有区别。
补0延拓的目的是在DFT相邻隐藏周期之间建立一个“缓冲区”。
如果把左边的图像无限复制多次，以覆盖整个平面，那么将形成一个棋盘，棋盘中的每个方格都是本图片和黑色的扩展部分。
假如将右边的图片做同样的处理，所得结果也是一样的。
因此，无论哪种形式的延拓，都能达到相同的分离图像的效果。
3、
（1）假设我们有一个[0,1]上的均匀分布随机数发生器U（0,1），请基于它构造指数分布的随机数发生器，推导出随机数生成方程。
（2）若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N（0,1），请推导出对数正态分布的随机数生成方程。
（1）设U（0,1）可生成随机数w，用它来生成具有指数CDF的随机数z，其CDF具有下面的形式
令F（z）=w，当z≥0时，解方程
得
由于w∈[0,1]，由上式可知z≥0，因而不存在z<
0的情况。
所以随机数生成方程为：
（2）设N（0,1）可生成随机数w，用它来生成具有对数正态分布CDF的随机数z，其CDF具有下面的形式
令F（z）=w，解方程
当b=1，a=0时，标准对数正态分布的随机数生成方程为：
4、对于公式
给出的逆谐波滤波回答下列问题：
（a）解释为什么当Q是正值时滤波对去除“胡椒”噪声有效？
（b）解释为什么当Q是负值时滤波对去除“盐”噪声有效？
将原公式变形
上式可看做求（x,y）邻域内所有（s,t）点的加权平均值，权重的分母
是个常数，只需考虑分子
的大小。
（a）当Q>
0时，
对
有增强作用，由于“胡椒”噪声值较小，对加权平均结果的影响较小，所以滤波后噪声点处（x,y）取值和周围其他值更接近，有利于消除“胡椒”噪声。
（b）当Q<
有削弱作用，由于“盐”噪声值较大，取倒数后较小，对加权平均结果的影响较小，所以滤波后噪声点处（x,y）取值和周围其他值更接近，有利于消除“盐”噪声。
【作业5】
1、请证明带通与带阻的频域关系公式，即课本中的关系公式
【解答】证法一
设D0是带宽的径向中心，W是带宽，D是D（u,v）距滤波器中心的距离。
理想带通滤波器的频域公式为：
理想带阻滤波器的频域公式为：
由此可知
图形化表示即为：
图中黑色代表0，白色代表1，左图是带阻滤波器，右图是带通滤波器。
可以发现两图是“互补”的，若将对应点数值相加，则全为1。
证法二
一张图像f（x,y）可拆分为带阻部分fr（x,y）和带通部分fp（x,y），即
也可看做由带阻滤波器和带通滤波器分别卷积后叠加所得：
等式两边取傅里叶变换得
2、复习理解课本中最佳陷波滤波器进行图像恢复的过程，请推导出w（x,y）最优解的计算过程，即从公式
的推导过程。
因为
所以对w（x,y）求偏导数，并令其等于0
，则上式可简写成
的解为
所以
，则上式等于
推导成立。
3、考虑在x方向均匀加速导致的图像模糊问题。
如果图像在t=0静止，并用均匀加速x0（t）=at2/2加速，对于时间T,找出模糊函数H（u,v），可以假设快门开关时间忽略不计。
由定义可知
将
代入得
上述积分难以化简，故不再推导。
4、已知一个退化系统的退化函数H（u,v），以及噪声的均值与方差，请描述如何利用约束最小二乘方算法计算出原图像的估计。
频域中原图像的估计由下式给出
其中P（u,v）是拉普拉斯算子的傅里叶变换。
定义“残差”向量
，由于
是
的函数，则
和
都是
的函数。
，则它是
的单调递增函数。
再调整
使
是一个精确度因子。
已知噪声的均值为
，方差
，和
、
（1）设定一个
的初始值，
（2）计算
（3）若满足
则执行第4步，若不满足，则调整
大小，然后返回第2步。
（4）使用最新的
，计算
（5）再通过傅里叶反变换即可得到估计图像。
【作业6】
1、r,g,b是RGB彩色空间沿R,G,B轴的单位向量，定义向量
定义为这两个向量的点乘：
推导出最大变换率方向
和点（x,y）在
方向上变化率的值F（
）。
要求最大变换率方向，即求使
取最大值的
将上式对
求偏导得
令上式等于0，解方程求出
的值
此即是最大变换率方向，对应的变化率值为
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