截长补短专题.doc
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截长补短法
图1-1
人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1.已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:
∠BAD+∠BCD=180°.
分析:
因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:
过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2
图1-2
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,
在Rt△ADE与Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
图2-1
又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,
即∠BAD+∠BCD=180°
例2.如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:
CD=AD+BC.
图2-2
分析:
结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.
证明:
在CD上截取CF=BC,如图2-2
在△FCE与△BCE中,
∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠1.
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°,
∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中,
∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA,
∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC.
例3.已知,如图3-1,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.
求证:
∠BAP+∠BCP=180°.
分析:
与例1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
图3-1
证明:
过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2
∵∠1=∠2,且PD⊥BC,∴PE=PD,
在Rt△BPE与Rt△BPD中,
图3-2
∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD,∴AB+BD+DC=BD+BE,∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.
在Rt△APE与Rt△CPD中,
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°
图4-1
例4.已知:
如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.
求证:
AB=AC+CD.
分析:
从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.
证明:
方法一(补短法)
图4-2
延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED,如图4-2
∴∠ACB=2∠E,
∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E,
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED(AAS),∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC,∴AB=AC+DC.
方法二(截长法)
图4-3
在AB上截取AF=AC,如图4-3
在△AFD与△ACD中,
∴△AFD≌△ACD(SAS),∴DF=DC,∠AFD=∠ACD.
又∵∠ACB=2∠B,∴∠FDB=∠B,∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD,∴AB=AC+CD.
上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充,但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。