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”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：
“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：
“雨下得怎样?
”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：
“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
主要内容
二重积分
定义
性质
①②
③
④⑤⑥
⑦⑧
计算法
利用直角坐标计算
把D写成X型区域
把D写成Y型区域
利用极坐标计算
三重积分
投影法（针刺法、先一后二法）
截面法（切片法、先二后一法）
利用柱面坐标计算
利用球面坐标计算
应用
求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等
课后习题全解
习题9-1
★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷.
解：
将任意分割成个小区域，在第个小区域上任取一点，由于在上连续和很小，所以用作为上各点函数值的近似值，则上的电荷
从而该板上的全部电荷
其中是各中的最大直径。
★★2.利用二重积分定义证明：
（1）（为区域的面积）；
（2）（其中为常数）；
（3），
其中,为两个无公共内点的闭区域。
证明：
（1）这里，被积函数，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，
∴，其中是各中的最大直径。
（2）
（3）将任意分割成个小区域，是其各小区域的最大直径，将任意分割成个小区域，有类似的意义。
记，，于是对应区域就分成了个区域，当时，有且，因为,无公共内点，将以上分割反过来处理：
先将分割为个区域，此分割在上的部分为，个小区域。
于是当在上可积时，便可如下推出在上可积（或反过来也一样），且有
★★3.判断积分的符号
由于，所以，且当时，，
于是
★★4.判断下列积分值的大小：
，，
，其中由，，，围成，则之间的大小顺序为（）
A.B.C.D.
因为被比较积分的积分区域相同，故可从被积函数来判断，在区域上，，当时，，从而当时，
，其中的只有在边界处才可能取到
所以，故应选C.
★★★5.估计下列二重积分的值：
（1）,其中是矩形闭区域，；
（2）,其中是圆形闭区域；
（1），，，
（2）圆形闭区域的面积为，在中，
即，，
即
★★★6.试用二重积分性质证明不等式
，其中：
，.
当时，，由重积分的性质即得
，证毕。
★★★★7.计算，其中由中心在原点，半径为的圆所围成。
在上连续，由二重积分的中值定理知，在内至少存在一点，使得，于是有
＝＝＝1
习题9-2
★1.计算下列二重积分：
（1），其中：
，;
（2），其中闭区域由坐标轴与所围成;
（3），其中：
（4），其中：
（1）==
而＝＝＝，所求＝
（2）积分区域：
，
所求＝＝＝＝
（3）===
==1
（4）===
其中====
所求＝
★★2.画出积分区域，并计算下列二重积分：
（1），其中:
（2），其中是由，，所围成的区域
（3），其中是以，，为顶点的三角形闭区域
（4），其中是由，，所围成的区域
（1）所求==
（2）所求＝===
（3）所求＝===
（4）所求＝＝＝
＝（和书上答案不一样）
★★3.改变下列二次积分的积分次序：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）
（1）原式＝＝
（2）由二次积分的积分限有，，改变积分次序后积分限为，所以，原式＝
（3）积分区域D：
，，可改写为，
所以，原式＝
（4）由二次积分的积分限，画出积分区域可改写为
所以，原式＝
（5）由二次积分的积分限画出积分区域知原式＝
★★4.设是由不等式所确定的有界闭区域，求二重积分
由对称性＝0
所以＝
★★5.求证＝
画出积分区域知左边＝＝＝
★★6.如果二重积分的被积函数是两个函数和的乘积，即＝，积分区域，证明＝
＝
★★7.设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。
设该薄片的质量为,则质量元素
★★8.求曲线所围成的平面图形的面积。
该曲线所围成的区域为:
，故所求面积
令，，则，
★★9.用二重积分表示由曲面，，所围成的立体的体积。
将所围立体视为以平面为顶，以面上的圆为底的曲顶柱体，根据二重积分的几何意义，所求的体积为
★★★10.求由曲面，，，所围成的立体的体积。
由于所围立体的底部为区域:
，，顶部是旋转抛物面，所以所求体积＝＝＝
★★11.求由曲面和所围成的立体的体积。
该立体的上顶面为，下顶面为两曲面的交线为，故交线所围平面区域为平面上的圆域
＝，令，，则，
习题9-3
★1.化二重积分为极坐标形式的二次积分，其中积分区域为
（1）
（2）（3）
（1）积分区域为圆域，故＝
（2）积分区域为环域，故＝
（3）积分区域为圆心在，半径为1的圆域，故
★★2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分
（1）画出积分区域草图知
（2）＝
（3）＝
★★3.利用极坐标计算下列二重积分：
（1），其中是由所围成的闭区域。
（2），其中是由与轴所围成的上半部分闭区域。
（3），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
（4），其中是由，，，所围成的在第一象限内的闭区域。
（1）＝＝＝
（2）画出积分区域的草图知：
，，上半圆的极坐标方程为，所以
（3）所求＝＝＝
（4）经极坐标变换，边界曲线方程为，，，，故
所求＝＝＝
★★★4.选用适当的坐标计算下列各题：
（1），其中是由与所围成的闭区域。
（2），其中是由圆周，及所围成的闭区域。
，
（4），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
（5），其中：
（1）利用极坐标计算。
抛物线的极坐标方程为即，所求＝＝＝＝＝
（2）本题用直角坐标计算比较简单。
积分区域可表示为，，故
所求＝＝＝＝＝
（3）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，，故所求＝＝
（4）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，
故所求＝＝令，则，
1
（5）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，
★★5.求区域的体积,其中由，，所围成。
注意到曲面在第一、三象限时位于面的上方，在第二、四象限时位于面的下方。
曲面在面上的投影区域为：
，故所求体积为
★★★6.求球体与所围公共部分的体积。
因为两球面的交线为，所以两球体公共部分在面上的投影区域为：
，故
★★7.设均匀薄片所占的闭区域由，，所围成，求此薄片的重心。
不妨设该薄片的面密度为1，则该薄片的质量
静矩=＝＝＝
重心坐标＝，＝＝即重心在点
★★8.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心坐标及关于轴（直径边）的转动惯量。
依题意，面密度。
由对称性知，重心必在轴，即，故只需计算。
=＝＝
所以＝＝即重心坐标为
对于轴的转动惯量为=＝＝
★★9.设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域由抛物线与直线所围成，求和
=＝＝＝
★★★10.设有一由，及所围成的均匀薄片（密度为1），问此薄片绕哪一条垂直于轴的直线旋转时转动惯量最小？
＝＝＝＝
令＝＝0，得
由于＝所以当时最小。
★★★11.计算，其中为椭圆形闭区域：
作广义极坐标变换，，则被积函数。
区域：
化为，即:
，，而
=＝＝＝所以，原式＝
★★★12.计算
由对称性知＝,
所以，原式＝作变换则＝1
由对称性知＝＝＝
所以，所求＝＝
★★★13.计算重积分，其中是由直线，和所围成。
作变换，，则被积函数。
区域化为：
★★★14.进行适当的变量代换，化二重积分为单积分，其中为由曲线，，，所围成的闭区域。
作变换，，则，，化为：
，而
=＝＝＝所以，所求＝
★★★15.作适当的变换，证明等式＝，其中闭区域:
画出积分区域的草图，并结合被积函数的形式，作变换，，即，，区域化为：
=＝＝，所以＝
习题9-4
★★1.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：
（1）由，，所围成的闭区域；
（2）由六个平面，，，，，所围成的闭区域；
（3）由曲面及所围成的闭区域。
（1）想像的形状，可把表示为，，
所以，＝
（2）画出积分区域的草图，可知区域介于平面与之间，且，在面上的投影区域为：
，，所以
（3）不难求得两曲面的交线在面上的投影为，在面上的投影区域为：
，所以
★★2.设有一物体，占有空间闭区域：
，，，在点处的密度为，计算该物体的质量。
该物体的质量
＝＝＝＝＝18
★★3.设积分区域：
，，，证明：
左边＝＝＝
＝＝右边
★★4.计算，其中是由曲面，，，所围成的区域。
根据题意，积分区域可表示为：
，，，所以
★★★5.计算，其中是由，，和所围成的四面体。
解
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