正弦定理和余弦定理详细讲解Word文档下载推荐.docx
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A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA<
a<
b
a≥b
a>
解的个数
一解
两解
[难点正本 疑点清源]
1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；
大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>
B⇔a>
b⇔sinA>
sinB；
tanA+tanB+tanC=tanA·
tanB·
tanC；
在锐角三角形中，cosA<
sinB,cosA<
sinC·
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；
（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换．
例1．已知在
中，
，
，解三角形.
思路点拨:
先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边
，然后用三角形内角和求出角
，最后用正弦定理求出边
解析：
，
∴
∴
又
．
总结升华：
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在
中，已知
，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
【变式2】在
，求
、
【答案】
根据正弦定理
，∴
【变式3】在
【答案】根据正弦定理
，得
例2．在
，求：
和
先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角
由正弦定理得：
（方法一）∵
，∴
或
当
时，
，（舍去）；
（方法二）∵
∴
即
为锐角，∴
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角
时，因为
，所以要依据题意准确确定角
的范围，再求出角
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
类型二：
余弦定理的应用：
例3．已知
中的最大角。
首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
∵三边中
最大，∴
其所对角
最大，
根据余弦定理：
∵
故
中的最大角是
1.
中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
【变式1】已知
中
求角
【答案】根据余弦定理：
∵
中，角
所对的三边长分别为
，若
的各角的大小．
【答案】设
根据余弦定理得：
同理可得
中，若
，求角
【答案】∵
类型三：
正、余弦定理的综合应用
例4．在
及
画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边
，然后继续用余弦定理或正弦定理求角
⑴由余弦定理得：
=
⑵求
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：
余弦定理）
（法二：
正弦定理）
又∵
＜
，即
画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
.求
【答案】由余弦定理得：
因为
为钝角，则
中，已知角
【答案】根据余弦定理可得：
∵
，∴
；
∴由正弦定理得：
其他应用题详解
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°
，灯塔B在观察站C的南偏东40°
，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．akmB.
akm
C.
akmD．2akm
解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°
，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·
BCcos120°
＝2a2－2a2×
＝3a2，
∴AB＝
a.
答案 B
2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°
方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°
方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）
A．2
kmB．3
km
C．3
kmD．2
解析 如图，由条件知AB＝24×
＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°
，AB＝6，∠ABS＝180°
－75°
＝105°
，所以∠ASB＝45°
.由正弦定理知
，所以BS＝
sin30°
＝3
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°
，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（ ）
A．35海里B．35
海里
C．35
海里D．70海里
解析 设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE＝25×
2＝50，CF＝15×
2＝30，且∠ECF＝120°
EF＝
＝70.
答案 D
4．（2014·
济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°
，测得塔基B的俯角为45°
，那么塔AB的高度是（ ）
A．20
mB．20
m
C．20（1＋
）mD．30m
解析 如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20m，所以BM＝20m．又在Rt△AMD中，
DM＝20m，∠ADM＝30°
∴AM＝DMtan30°
（m）．
∴AB＝AM＋MB＝
＋20
＝20
答案 A
5．（2013·
天津卷）在△ABC中，∠ABC＝
，AB＝
，BC＝3，则sin∠BAC＝（ ）
A.
B.
D.
解析 由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·
BCcos∠ABC＝（
）2＋32－2×
×
3×
＝5，所以AC＝
，再由正弦定理：
sin∠BAC＝
·
BC＝
答案 C
6．（2014·
滁州调研）线段AB外有一点C，∠ABC＝60°
，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小（ ）
B．1
D．2
解析 如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理，得
DE2＝BD2＋BE2－2BD·
BEcos60°
＝（200－80t）2＋2500t2－（200－80t）·
50t
＝12900t2－42000t＋40000.
当t＝
时，DE最小．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°
，则A、C两地的距离为________km.
解析 如右图所示，由余弦定理可得：
AC2＝100＋400－2×
10×
20×
cos120°
＝700，
∴AC＝10
（km）．
答案 10
8．如下图，一艘船上午9：
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°
处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：
00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°
处，且与它相距8
nmile.此船的航速是________nmile/h.
解析 设航速为vnmile/h
在△ABS中，AB＝
v，BS＝8
，∠BSA＝45°
∴v＝32（nmile/h）．
答案 32
9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°
，再由点C沿北偏东15°
方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°
，则塔AB的高是________米．
解析 在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°
，∠BCD＝15°
＋90°
，∠DBC＝30°
＝10
（米）．
在Rt△ABC中，tan60°
，AB＝BCtan60°
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10．（2014·
台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°
的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°
和30°
，第一排和最后一排的距离为10
米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
解 在△BCD中，∠BDC＝45°
，∠CBD＝30°
，CD＝10
，由正弦定理，得BC＝
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°
＝30（米），所以升旗速度v＝
＝0.6（米/秒）．
11.
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3＋
）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°
，B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°
且与B点相距20
海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多
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