南京大学和数学分析考研考试及解答Word下载.docx

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在点

处取得最小值。

四设

的某个邻域内具有二阶连续导数，且

，试证明：

（1）

（2）级数

绝对收敛。

五计算下列积分

（2）

，其中

是圆柱面

，三个坐标平面及旋转抛物面

所围立体的第一象限部分的外侧曲面。

六设

内可导，

不恒等于常数，且

试证明：

内至少存在一点

，使

七在变力

的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

第一象限的点

问

取何值时，

所做的功

最大，并求

的最大值。

八

（1）证明：

南京大学2002年数学分析考研试题解答

一

（1）解

.

（2）解（i）

当

时，

上单增，

上单减，

所以

处达到最大值，

（ii）当

单调递增有上界，设

，则有

二证明因为

显然

上连续，由连续函数的介值定理知，存在

使得

即得

上有无穷多个零点。

三解

（1）

因为

，所以

于是

（3）由

知，存在

，当

即知

中在

处取得极小值。

四、证明

（1）由

，知

由

知

（2）

，已知

收敛，其中

收敛，结论得证。

五

（1）解

（2）解曲面

事物交线为

其中

是区域

的边界时，利用高斯公式，

当

是

的边界时，利用高斯公式

六证明证法一用反证法，假若结论不成立，则对任意

，都有

上单调递减，由于

不恒等于常数，所以

不恒等于零，存在一点

，使得

，存在

，这与

矛盾，从而假设不成立，原结论得证。

证法2由于

上连续，

上取到最大值

和最小值

，且

，由于

的最大值

或最小值

必在

内达到。

若

处达到最大值

从而有

处达到最小值

结论得证。

七解设

是有势场，

由于

等号成立当且仅当

达到最大值，且

的最大值为

八证明

（1）由于当

时，有

对任意

，取

所以有

（2）取

有

收敛，

上一致收敛于

故由函数列积分的黎曼控制收敛定理，

。

南京大学2003年数学分析考研试题

一求下列极限

（1）设

（3）

二过

点作抛物线

的切线，求

（1）切线方程；

（2）由抛物线、切线及

轴所围成的平面图形面积；

（3）该平面图形分别绕

轴和

轴旋转一周的体积。

三对任一

中的最大值，

并证明该最大值对任一

，均小于

上有连续导数，且

，（

为常数），试证：

内仅有一个零点。

（1）设

和

为上半球面

的外侧。

上黎曼可积，

，并讨论

上的一致收敛性；

，（要说明理由）

七设

的收敛半径为

，令

为任一有穷闭区间。

南京大学2003年数学分析考研试题解答

一

（1）解设

由此知，

（2）解由归纳法，易知

单调递增有界，设

则有

，故

故

3解

（1）

，设切点为

设切点

的切线方程为

将

代入，

所求切线方程为

，即

（2）解

三解

容易证明

上单调递减，

，

故有

四证明对任意

充分大时，有

，又

，由连续函数的介值定理，存在

上严格单调递增，所以

六、解

由于极限函数在

上不连续，

上不一致收敛；

但对任何

上一致收敛于0；

且

根据控制收敛定理，

对于

有

七、证明由条件知

在任意有限区间上是一致收敛的，

对任意有限区间

上一致有界，

再由

上一致连续，

于是有