数三考研真题及答案解析完整版Word文档下载推荐.docx
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3.设是圆域的第象限的部分,记,则()
(A)(B)(C)(D)
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
所以,应该选(B).
4.设为正项数列,则下列选择项正确的是()
(A)若,则收敛;
(B)若收敛,则;
(C)若收敛.则存在常数,使存在;
(D)若存在常数,使存在,则收敛.
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D)正确,故应选(D).
此小题的(A)(B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A),但少一条件,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,选项(B)也不正确,反例自己去构造.
5.设A,B,C均为阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.
(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.
【详解】把矩阵A,C列分块如下:
,由于AB=C,则可知,得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示.同时由于B可逆,即,同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示,所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.应该选(B).
6.当时,用表示比高阶的无穷小,则下列式子中错误的是()
(A)(B)
(C)(D)
【详解】由高阶无穷小的定义可知(A)(B)(C)都是正确的,对于(D)可找出反例,例如当时,但而不是故应该选(D).
7.设是随机变量,且,,则
【详解】若,则
,,
,
.
故选择(A).
8.设随机变量X和Y相互独立,且X和Y的概率分布分别为
X
1
2
3P
P
1/2
1/4
1/8
Y
-1
1/3
则()
【详解】,故选择(C).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
9.设曲线和在点处有切线,则.
【详解】由条件可知.所以
10.设函数是由方程确定,则.
【详解】
设,则,
当时,,所以.
11..
12.微分方程的通解为.
【详解】方程的特征方程为,两个特征根分别为,所以方程通解为,其中为任意常数.
13.设是三阶非零矩阵,为其行列式,为元素的代数余子式,且满足,则=.
【详解】由条件可知,其中为A的伴随矩阵,从而可知
,所以可能为或0.
但由结论可知,可知,伴随矩阵的秩只能为3,所以
14.设随机变量X服从标准正分布,则.
.
所以为.
三、解答题
15.(本题满分10分)
当时,与是等价无穷小,求常数.
【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式.
【详解】当时,,,,
所以,
由于与是等价无穷小,所以.
16.(本题满分10分)
设D是由曲线,直线及轴所转成的平面图形,分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积,若,求的值.
【详解】由微元法可知
;
由条件,知.
17.(本题满分10分)
设平面区域D是由曲线所围成,求.
18.(本题满分10分)
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为(P是单价,单位:
元,Q是销量,单位:
件),已知产销平衡,求:
(1)该的边际利润.
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义.
(3)使得利润最大的定价P.
(1)设利润为,则,
边际利润为
(2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.
经济意义为:
当P=50时,销量每增加一个,利润增加20.
(3)令,得
19.(本题满分10分)
设函数在上可导,,且,证明
(1)存在,使得
(2)对
(1)中的,存在,使得.
证明
(1)由于,所以存在,当时,有,
又由于在上连续,且,由介值定理,存在,使得
(2)函数在上可导,由拉格朗日中值定理,
存在,使得.
20.(本题满分11分)
设,问当为何值时,存在矩阵C,使得,并求出所有矩阵C.
显然由可知,如果C存在,则必须是2阶的方阵.设,
则变形为,
即得到线性方程组,要使C存在,此线性方程组必须有解,于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下
所以,当时,线性方程组有解,即存在矩阵C,使得.
此时,,
所以方程组的通解为,也就是满足的矩阵C为
,其中为任意常数.
21.(本题满分11分)
设总体X的概率密度为,其中为为未知参数且大于零,为来自总体X的简单随机样本.
(1)求的矩估计量;
(2)求的极大似然估计量.
(1)先求出总体的数学期望E(X)
令,得的矩估计量.
(2)当时,似然函数为
取对数,,
令,得,
解得的极大似然估计量为.
22.(本题满分11分)
设是二维随机变量,X的边缘概率密度为,在给定的条件下,Y的条件概率密度为.
(1)求的联合概率密度;
(2)Y的的边缘概率密度.
(1)的联合概率密度:
(2)Y的的边缘概率密度:
23.(本题满分11分)
设二次型.记.
(1)证明二次型对应的矩阵为;
(2)若正交且为单位向量,证明在正交变换下的标准形为.
【详解】证明:
(1)
所以二次型对应的矩阵为.
证明
(2)设,由于
则,所以为矩阵对应特征值的特征向量;
,所以为矩阵对应特征值的特征向量;
而矩阵A的秩,所以也是矩阵的一个特征值.
故在正交变换下的标准形为.