湖南省三湘联盟届高三下学期大联考数学试题答案Word下载.docx

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5．【答案】C

【命题意图】考查三角恒等变换,基本不等式

同角间的三角函数关系．考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

【解析】∵

方法二：

令

则

6．【答案】D

【命题意图】考查双曲线的基本性质,离心率,平面向量的数量积．考查数学运算,逻辑推理,直观想象等数学核心素养．

【解析】设

的焦距为

离心率为

．当

时,由平面几何知识得

解得

．∵

．根据双曲线

上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知,当

时,实数

的取值范围是

7．【答案】C

【命题意图】考查解三角形,余弦定理,数学文化．考查数学运算,直观想象等数学核心素养．

【解析】由条件可得

在

中,由余弦定理得

∴

所以弦图中小正方形的边长为

8．【答案】D

【命题意图】函数导数几何意义,基本不等式

函数的最大值．考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

∴函数

处的切线的斜率

．又

等号在

时成立,∴

的最大值为

的最小值为

处切线的倾斜角

二、选择题：

本题共4小题,每小题5分,共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。

9．【答案】BC

【命题意图】考查函数性质,导数,极值点．考查数学运算,直观想象等数学核心素养．

∴A错误．由于

当

时,

在区间

上是增函数．故B正确．∵

的定义

且

∴C正确．由

知,当

不是

的极值点．故D错误．

10．【答案】AC

【命题意图】考查概率的意义,正态分布．考查数学建模,数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

【解析】根据题意,

∴A正确．又

∴B错误．由于

所以随机抽取

袋这种食品,袋装质量在区间

的约

袋,故C正确．根据概率的意义,D错误．

11．【答案】AB

【命题意图】考查数列前

项和与项的关系,等差数列,数列的性质,古典概型,独立事件的概率,互斥事件的概率,分类讨论思想．考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

∴当

．若

是等差数列,则

因此,只需要在数集

中抽到

即可,概率为

故A正确．若

是递增数列,则

即

或

是递增数列的概率为

故B正确．与证B结论同理可得C错误．由已知得

如果

满足

概率为

．如果

是

的最小值,则

的概率为

故D错误．

12．【答案】BCD

【命题意图】考查空间想象能力,空间点、线、面的位置关系,分类讨论思想．考查直观想象,逻辑推理等数学核心素养．

【解析】由条件知

若点

与

重合,则平面

平面

即过

与平面

垂直的平面与直线

的交点为点

时,点

不在线段

上．若点

不与

重合,作

设平面

交直线

于

∵

在线段

上,当

上,点

也不在线段

上．故A错误．　

若

是正三角形,设

中点,

重合,则

且四边形

的面积为

．∵平面

中点,或

重合时,线段

的长度将增加,四边形

的面积不再等于

．故B正确．

设

中点,记

中点为

．由结论B知

．由于

∴直线

确定的平面就是平面

．∴

为线段

上任意一点,都有

故C正确．

设

∴四边形

是平行四边形,∴

．根据结论C,

∴平行四边形

即四边形

．所以D正确．（注：

分别是线段

中点时,则

．由结论C知,

故D正确．）

三、填空题：

13．【答案】

【命题意图】考查平面向量,向量的数量积,向量的夹角,向量加减法的几何意义,数量积的意义．考查直观想象,数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

【解析】∵向量

的夹角为

14．【答案】

【命题意图】考查二项式定理,项的系数,展开式的通项公式．考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

【解析】二项式展开式的通项公式为

由

得,

15．【答案】

【命题意图】考查分段函数,值域,单调性,分类讨论思想．考查直观想象,数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

【解析】当

又

和

上都是单调递增函数,∴关于

的不等式

的解集是

不合题意,舍．当

由于

上都是单调递增函数,所以要使

的解集

满足

则必须

16．【答案】

（3分）,

（2分）．

【命题意图】考查椭圆的定义,离心率,标准方程,焦点,圆,垂直平分线,弦长．考查直观想象,数学运算,逻辑推理等数学核心素养．

x

y

O

【解析】由条件得

∴椭圆

的方程是

．由于点

的延长线上,

是以

为圆心,以

为半径的圆,方程为

．当圆心

到弦

的距离最大,即当

为椭圆的右顶点时,

取得最小值（在圆的方程中取

）,且最小值为

如图所示．

四、解答题：

本题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【命题意图】考查等差数列及其通项与前

项和的关系,等比数列通项及其前

项和．考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养．

【解析】

（1）∵

是公差为

的等差数列,

解得,

．…………………………………3分

∵

所以,

．………………………………………………………5分

（2）由

（1）知

∴等比数列

的公比

………………………………………………7分

．………………………………………………………………………8分

由

．……………………………………………9分

．………………………………………………………10分

18．【命题意图】考查函数图象变换,三角简单的恒等变换,正余定理在解三角形中的应用,数形结合思想,函数方程思想．考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养．

（1）由图可知,

．……………………………………………………………………3分

．……………………………………………………………………6分

（2）∵

．…………………………………………………………7分

∴分别在

（舍）,或

．…………12分

19．【命题意图】考查空间点线面之间的位置关系,线线、线面、面面平行及垂直的性质和判定．考查二面角,空间向量与立体几何．考查数学直观,逻辑推理等数学核心素养．

（1）证明：

设线段

连接

交

于点

分别连接

由条件可得,

∴三个四边形

都是平行四边形,

是正三角形,∴

是正三角形．

是线段

中点,所以

中点．

．…………………………………………3分

是平面

内两条相交直线,∴

两条相交直线,∴

．……………………………………………………………5分

∴平面

．…………………………………………6分

（2）由

（1）知直线

两两垂直,分别以直线

为

轴和

轴,以过点

平行

的直线为

轴,建立如图所示的空间直线坐标系

的一个法向量,则

不妨取

由

（1）知

的法向量,

所以,平面

与平面角

所成锐二面角的余弦值为

．………………………12分

20．【命题意图】考查圆的切线,抛物线与直线的位置关系,弦长,斜率,直线方程．考查数形结合思想,转化化归思想,函数方程思想．考查数学运算,逻辑推理,数学抽象等数学核心素养．

是抛物线

上的一点,∴

．…………1分

设点

在

轴上的射影为

．……………2分

．……………………………………………………………3分

所以,抛物线的方程是

．……………………………………………………4分

（2）∵直线

与圆

相切,

则过

点和圆

相切的一条直线平行于抛物线

的对称轴

轴,不满足条件,所以

．①

设这两切线对应的

分别是

则有

．………………………………6分

．由方程组

②,不失一般性,可取

．………………………8分

设圆