等边三角形专题含详解析Word文档下载推荐.docx
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(1)求△ABC的面积S;
(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明。
《等边三角形》练习题
1.(2012•)如图,已知:
∠MON=30°
,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
A.
6
B.
12
C.
32
D.
64
2.(2012•凉山州)如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是( )
180°
220°
240°
300°
3.(2012•)如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为( )
2
3
4.(2011•)边长为4的正三角形的高为( )
4
5.(2010•随州)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )
不能确定
6.(2009•)如图所示,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则∠DFC的度数为( )
60°
45°
40°
30°
7.(2007•)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,BE、CE分别交AD于G、H,设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2,则( )
3S1=2S2
2S1=3S2
2S1=S2
S1=2S2
8.(2007•)如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积为( )
4cm2
2cm2
3cm2
9.(2006•)如图,A、C、B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;
②CM=CN;
③AC=DN.其中,正确结论的个数是( )
3个
2个
1个
0个
10.(2006•)如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行(A,C端点除外),设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是( )
d>h
d<h
d=h
无法确定
11.(2007•)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°
的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°
的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距( )
30海里
40海里
50海里
60海里
12.(2006•)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于( )
25°
13.(2011•)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= _________ 度.
14.(2008•日照)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
②PQ∥AE;
③AP=BQ;
⑤∠AOB=60度.恒成立的结论有 _________ .(把你认为正确的序号都填上)
15.(2005•)如图,将边长为4的等边△ABC,沿x轴向左平移2个单位后,得到△A′B′C′,则点A′的坐标为 _________ .
16.(2004•)如图,正三角形A1B1C1的边长为1,△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2,△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3,…,如此类推,得到△AnBnCn.则:
(1)△A3B3C3的边长a3= _________ ;
(2)△AnBnCn的边长an= _________ (其中n为正整数).
17.(2006•嘉峪关)△ABC为等边三角形,
D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且
AE=CD=BF,则△DEF为 _________ 三角形.
18.(1999•)如图,以A,B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形,最多可以作出 _________ 个.
19.如图所示,P是等边三角形ABC一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°
,得到△CBP′,若PB=3,则PP′= _________ .
20.(2009•)如图,在边长为4的正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE.
(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明.
21.(2009•)如图,△ABC为正三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作正三角形CDE,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由.
22.(2008•)附加题,学完“几何的回顾”一章后,老师布置了一道思考题:
如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:
∠BQM=60度.
(1)请你完成这道思考题;
(2)做完
(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°
”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°
?
③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°
…
请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:
① _________ ;
② _________ ;
③ _________ .并对②,③的判断,选择一个给出证明.
23.(2007•)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
24.(2004•)已知:
如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.
(1)求证:
DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长.
25.(2002•)已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题:
(1)当点P在△ABC(如图2),
(2)点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,h1、h2、h3与h之间的关系如何?
请写出你的猜想,不需证明.
26.(2000•)如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB;
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
27.(2010•)如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
AE=BD;
(2)求证:
MN∥AB.
28.(2005•)如图,已知AD和BC交于点O,且△OAB和△OCD均为等边三角形,以OD和OB为边作平行四边形ODEB,连接AC、AE和CE,CE和AD相交于点F.
求证:
△ACE为等边三角形.
29.已知:
如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.
AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:
△MNC是等边三角形.
30.如图,等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点,Q为BC延长线上一点,CQ:
BC=1:
2,过P作PE⊥AC于E,连PQ交AC边于D,求DE的长?
《全等三角形》练习参考答案与试题解析
1.C 2.C 3.C 4.D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13.∠E= 15 度.14. ①②③⑤ .
15..16.a3=;
△AnBnCn的边长an= (或21﹣n)
17. 等边 三角形.18. 2 个.19PP′= 3 .
20.
解:
(1)在正△ABC中,AD=4×
,(2分)
∴S=BC×
AD=×
4×
2=4.(3分)
(2)AC、DE的位置关系:
AC⊥DE.(1分)
在△CDF中,∵∠CDE=90°
﹣∠ADE=30°
∴∠CFD=180°
﹣∠C﹣∠CDE=180°
﹣60°
﹣30°
=90°
.
∴AC⊥DE.(3分)
(注:
其它方法酌情给分).
21.