最新人教B版高中数学必修五综合测试题及答案2套Word格式.docx
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A.3∶2∶1B.
∶2∶1
C.
∶
∶1D.2∶
∶1
【解析】 ∵∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,∠A+∠B+∠C=180°
,
∴∠A=90°
,∠B=60°
,∠C=30°
.
∴a∶b∶c=sin90°
∶sin60°
∶sin30°
=1∶
=2∶
∶1.
4.在坐标平面上,不等式组
所表示的平面区域的面积为( )
C.
D.2
【解析】 由题意得,图中阴影部分面积即为所求.B,C两点横坐标分别为-1,
∴S△ABC=
×
2×
=
【答案】 B
5.已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若∠A=
,b=2acosB,c=1,则△ABC的面积等于( )
D.
【解析】 由正弦定理得sinB=2sinAcosB,
故tanB=2sinA=2sin
,又∠B∈(0,π),所以∠B=
又∠A=∠B=
,则△ABC是正三角形,
所以S△ABC=
bcsinA=
1×
6.等差数列的第二,三,六项顺次成等比数列,且该等差数列不是常数数列,则这个等比数列的公比为( )
A.3B.4C.5D.6
【解析】 设等差数列的首项为a1,公差为d,
则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d,
又∵a2·
a6=a
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),
∴d=-2a1,∴q=
=3.
7.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈
恒成立,则a的最小值为( )
A.0B.-2C.-
D.-3
【解析】 x2+ax+1≥0在x∈
上恒成立⇔ax≥-x2-1⇔a≥
max,∵x+
≥
∴-
≤-
,∴a≥-
【答案】 C
8.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>
0,dS4>
0B.a1d<
0,dS4<
C.a1d>
0D.a1d<
【解析】 ∵a3,a4,a8成等比数列,∴a
=a3a8,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),展开整理,得-3a1d=5d2,即a1d=-
d2.∵d≠0,∴a1d<
0.∵Sn=na1+
d,∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-
d2<
0.
9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则a10等于( )
A.1024B.1023C.2048D.2046
【解析】 a1=1,a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,a10-a9=29,
上面各式相加,得a10=1+2+22+…+29=
=210-1=1023,故选B.
10.设x,y∈R,a>1,b>1.若ax=by=3,a+b=2
,则
+
的最大值为( )
A.2 B.
C.1 D.
【解析】 ∵2
=a+b≥2
,∴ab≤3.
由ax=by=3得x=loga3,y=logb3,
∴
=log3a+log3b=log3ab≤log33=1.故选C.
11.△ABC的内角A,B,C所
对的边分别为a,b,c,若∠B=2∠A,a=1,b=
,则c=( )
A.2
B.2C.
D.1
【解析】 由正弦定理得:
∵∠B=2∠A,a=1,b=
∵A为三角形的内角,∴sinA≠0.
∴cosA=
又0<∠A<π,∴∠A=
,∴∠B=2∠A=
∴∠C=π-∠A-∠B=
,∴△ABC为直角三角形.
由勾股定理得c=
=2.
12.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( )
A.13项B.12项C.11项D.10项
【解析】 设该数列的前三项分别为a1,a1q,a1q2,后三项分别为a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.所以前三项之积a
q3=2,后三项之积a
q3n-6=4,两式相乘,得a
q3(n-1)=8,即a
qn-1=2.又a1·
a1q·
a1q2·
…·
a1qn-1=64,所以a
·
q
=64,即(a
qn-1)n=642,即2n=642,所以n=12.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.在△ABC中,BC=2,∠B=
,当△ABC的面积等于
时,sinC=________.
【解析】 由三角形的面积公式,得S=
AB·
BCsin
,易求得AB=1,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·
BC·
cos
,得AC=
,再由三角形的面积公式,得S=
AC·
BCsinC=
,即可得出sinC=
【答案】
14.若变量x,y满足约束条件
则3x+y的最大值是________.
【解析】 画出可行域,如图阴影部分所示,设z=3x+y,则y=-3x+z,平移直线y=-3x知当直线y=-3x+z过点A时,z取得最大值.
由
可得A(3,1).
故zmax=3×
3+1=10.
【答案】 10
15.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫做税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元,则k的取值范围为________.
【解析】 设产销量为每年x万瓶,则销售收入每年70x万元,从中征收的税金为70x·
k%万元,其中x=100-10k.由题意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.
【答案】 [2,8]
16.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则a1=________,S5=________.
【解析】 ∵an+1=2Sn+1,
∴Sn+1-Sn=2Sn+1,
∴Sn+1=3Sn+1,
∴Sn+1+
=3
∴数列
是公比为3的等比数列,
又S2=4,∴S1=1,∴a1=1,
∴S5+
34=
∴S5=121.
【答案】 1 121
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(a2+c2-b2,-
a),n=(tanB,c),且m⊥n,求∠B的值.
【解】 由m⊥n得
(a2+c2-b2)·
tanB-
a·
c=0,
即(a2+c2-b2)tanB=
ac,得a2+c2-b2=
所以cosB=
即tanBcosB=
,即sinB=
所以∠B=
或∠B=
18.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,S9=-36,S13=-104,在等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,求b6.
【解】 ∵S9=-36=9a5,∴a5=-4,
∵S13=-104=13a7,∴a7=-8.
∴b
=b5·
b7=a5·
a7=32.
∴b6=±
4
19.(本小题满分12分)已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且a1=3,a3=9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解】
(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.由a1=3,a3=9,得2(log22+d)=log22+log28,解得d=1,∴log2(an-1)=1+(n-1)×
1=n,∴an=2n+1.
(2)∵an=2n+1,∴Sn=a1+a2+…+an=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)=(2+22+…+2n)+n=
+n=2n+1+n-2.
20.(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
【解】 原不等式可化为
ax2+(a-2)x-2≥0⇒(ax-2)(x+1)≥0.
(1)当a=0时,原不等式化为x+1≤0⇒x≤-1;
(2)当a>
0时,原不等式化为
(x+1)≥0⇒x≥
或x≤-1;
(3)当a<
(x+1)≤0.
①当
>
-1,即a<
-2时,原不等式等价于-1≤x≤
;
②当
=-1,即a=-2时,原不等式等价于x=-1;
③当
-1,即-2<
a<
0时,原不等式等价于
≤x≤-1.
综上所述:
当a<
-2时,原不等式的解集为
当a=-2时,原不等式的解集为{-1};
当-2<
0时,原不等式的解集为
当a=0时,原不等式的解集为(-∞,-1];
当a>
0时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪
21.(本小题满分12分)如图1,在扇形AOB中,圆心角等于60°
,半径为2,在弧AB上有一动点P(不与点A,B重合),过点P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC的面积的最大值及此时θ的值.
图1
【解】 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°
-θ,∠OCP=120°
在△POC中,由正弦定理得:
,即
,∴CP=
sinθ.
又∵
,∴OC=
sin(60°
-θ).
∴△POC的面积为S△POC=
CP·
OCsin120°
sinθ·
-θ)×
sinθsin(60°
-θ)=
sinθ
sin(2θ+30°
)-
,θ∈(0°
,60°
).
∴当θ=30°
时,△POC的面积取得最大值
22.(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,制造1tA,1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表:
原料
每种产品所需原料(t)
现有原料数(t)
A
B
甲
2
14
乙
3
18
利润(万元/t)
5
—
(1)在现有原料条件下,生产A,B两种产品各多少时,才能使利润最大?
(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时,原最优解不变?
当超出这个范围时,最优解有