线性空间与子空间Word下载.docx

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（）在中定义一个“数乘”运算，即当，时，有唯一的（封闭性），且数乘运算满足下列性质

（5）数因子分配律；

（6）分配律；

（7）结合律；

（8）恒等律；

[数域中一定有1]

则称为数域上的线性空间。

注意：

1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。

（2）两种运算、八条性质

数域中的运算是具体的四则运算，而中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。

（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。

唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：

集合小、运算本身就不满足。

当数域为实数域时，就称为实线性空间；

为复数域，就称为复线性空间。

例1．设＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为

xy=xy,

证明：

是实数域R上的线性空间。

[证明]首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性

唯一性和封闭性

唯一性显然

若x>

0,y>

0,，则有

xy=xy封闭性得证。

八条性质

（1）x（yz）=x（yz）=（xy）z=（xy）z

（2）xy=xy＝yx=yx

（3）1是零元素x1＝[xo=x——>

xo=x－>

o=1]

（4）是x的负元素x＝[x+y=o]

（5）（xy）xy[数因子分配律]

（6）（x）（x）[分配律]

（7）[结合律]

（8）[恒等律]

由此可证，是实数域R上的线性空间。

2．定理：

线性空间具有如下性质

（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。

（2）如下恒等式成立：

o，。

[证明]

（1）采用反证法：

零元素是唯一的。

设存在两个零元素o1和o2，则由于o1和o2均为零元素，按零元律有

[交换律]

o1＋o2＝o1＝o2＋o1＝o2

所以o1＝o2

即o1和o2相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。

任一元素的负元素也是唯一的。

假设，存在两个负元素和，则根据负元律有

o＝

[零元律][结合律][零元律]

即和相同，故负元素唯一。

（2）：

设w=0x，则x+w=1x+0x=（1+0）x=x，故w=o。

[恒等律]

：

设w=（－1）x，则x+w=1x+（－1）x=[1+（－1）]x=0x=o，

故w=－x。

3．线性相关性

线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。

•线性组合：

称为元素组的一个线性组合。

•线性表示：

中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x可由该元素组线性表示。

•线性相关性：

如果存在一组不全为零的数，使得对于元素有

则称元素组线性相关，否则称其线性无关。

线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。

4．线性空间的维数

定义：

线性空间中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数，记为。

本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及。

例2.全体m×

n阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。

[解]一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。

令Eij为这样的一个m×

n阶矩阵，其（i,j）元素为1，其余元素为零。

显然，这样的矩阵共有mn个，构成一个具有mn个元素的线性无关元素组。

另一方面，还需说明元素个数最大。

对于任意的，都可由以上元素组线性表示，

——>

即构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为mn。

二、线性空间的基与坐标

1．基的定义：

设V是数域K上的线性空间，是属于V的r个任意元素，如果它满足

（1）线性无关；

（2）V中任一向量x均可由线性表示。

则称为V的一个基，并称为该基的基元素。

•基正是V中最大线性无关元素组；

V的维数正是基中所含元素的个数。

•基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。

例3考虑全体复数所形成的集合C。

如果K＝C（复数域），则该集合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；

如果取K＝R（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维数为2。

数域K

两种运算

基

一般元素

空间类型

维数

复数域C

（1）复数加法；

（2）复数对复数的数乘

{1}

复线性空间

1

实数域R

（2）实数对复数的数乘

{1,i}

实线性空间

2

2．坐标的定义：

称线性空间的一个基为的一个坐标系，，它在该基下的线性表示为：

则称为x在该坐标系中的坐标或分量，记为

讨论：

（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。

但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。

（2）更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。

正对应

正对应

（3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。

后面我们还要研究这一变换关系。

三、基变换与坐标变换

基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。

设是的旧基，是的新基，由于两者都是基，所以可以相互线性表示

（）

即

其中C称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C是可逆的。

设，它在旧基下的线性表示为

它在新基下的线性表示为

则

由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系

补充：

证明对于线性空间的零元素o，，均有ko＝o。

线性子空间

一、线性子空间的定义及其性质

1.定义：

设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件

（1）如果x、yV1，则x＋yV1；

（2）如果xV1，kK，则kxV1，

则称V1是V的一个线性子空间或子空间。

2.性质：

（1）线性子空间V1与线性空间V享有共同的零元素；

（2）V1中元素的负元素仍在V1中。

[证明]

（1）0

V中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。

（2）

（－1）x=（－x）封闭性

V1中元素的负元素仍在V1中

3.分类：

子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间

平凡子空间：

{0}和V本身

非平凡子空间：

除以上两类子空间

4.生成子空间：

设x1、x2、·

·

、xm为V中的元素，它们的所有线性组合的集合

也是V的线性子空间，称为由x1、x2、·

、xm生（张）成的子空间，记为L（x1、x2、·

、xm）或者Span（x

1、x2、·

、xm）。

若x1、x2、·

、xm线性无关，则

dim{L（x1、x2、·

、xm）}=m

5.基扩定理：

设V1是数域K上的线性空间Vn的一个m维子空间，x1、x2、·

、xm是V1的一个基，则这m个基向量必可扩充为Vn的一个基；

换言之，在Vn中必可找到n-m个元素xm+1、xm+2、·

、xn，使得x1、x2、·

、xn成为Vn的一个基。

这n-m个元素必不在V1中。

二、子空间的交与和

1.定义：

设V1、V2是线性空间V的两个子空间，则

分别称为V1和V2的交与和。

2.定理：

若V1和V2是线性空间V的两个子空间，则，V1＋V2均为V的子空间

[证明]

（1）

是V的一个线性子空间。

（2）

是V的子空间。

4.维数公式：

若V1、V2是线性空间V的子空间，则有

dim（V1+V2）+dim（）=dimV1+dimV2

[证明]设dimV1=n1,dimV2=n2,dim（）=m

需要证明dim（V1+V2）＝n1＋n2－m

、xm是的一个基，根据基扩定理

存在1）y1、y2、·

、yn1－mV1，使x1、x2、·

、xm、y1、y2、·

、yn1－m成为V1的一个基；

2）z1、z2、·

、zn2－mV2，使x1、x2、·

、xm、z1、z2、·

、zn2－m

成为V2的一个基；

考察x1、x2、·

、yn1－m、z1、z2、·

、zn2－m，

若能证明它为V1+V2的一个基，则有dim（V1+V2）＝n1＋n2－m。

成为基的两个条件：

1）它可以线性表示V1+V2中的任意元素

2）线性无关

显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。

假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k1、k2、·

、km、p1、p2、·

、pn1－m、q1、q2、·

、qn2－m使

令，则

但

根据基扩定理，x1、x2、·

、yn1－m成为V1的一个基

同理：

这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V1+V2的一个基。

dim（V1+V2）＝n1＋n2－m

三、子空间的直和

设V1、V2是线性空间V的子空间，若其和空间V1+V2中的任一元素只能唯一的表示为V1的一个元素与V2的一个元素之和，即，存在唯一的、，使，则称为V1与V2的直和，记为

子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是

，

反映的是两个子空间的关系特殊。

2.定理：

如下四种表述等价

（1）成为直和

（2）

（3）dim（V1+V2）=dimV1+dimV2

（4）x1、x2、·

、xs为V1的基，y1、y2、·

、yt为V2的基，则x1、x2、·

、xs、y1、y2、·

、yt为的基

[证明]

（2）和（3）的等价性显然

采用循环证法：

（1）

（2）（4）

（1）

（1）

（2）：

已知＝

假定且，则

，，，，

说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即

（2）（4）：

已知

成为基的两个条件：

1）可以线性表示V1+V2中的任意元素

2）线性无关

、，存在如下坐标表示式

可表示V1+V2中的任一元素，

x1、x2、·

、yt可表示V1+V2中的任意元素。

假设x1、x2、·

、yt线性相关，即存在不全为0的使

＝0

而

＝－y

同理

这与其线性相关性矛盾，x1、x2、·

、yt线性无关