一元二次方程知识点及典例分析汇总Word文档格式.docx
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二、考点精析
考点一、概念
（1）定义：
①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
（2）一般表达式：
⑶难点：
如何理解“未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A
B
C
D
变式：
当k时，关于x的方程
是一元二次方程。
例2、方程
是关于x的一元二次方程，则m的值为。
针对练习：
★1、方程
的一次项系数是，常数项是。
★2、若方程
是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；
⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程
是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。
★★★4、若方程xm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：
利用根的概念求代数式的值；
例1、已知
的值为2，则
的值为。
例2、关于x的一元二次方程
的一个根为0，则a的值为。
例3、已知关于x的一元二次方程
的系数满足
，则此方程
必有一根为。
例4、已知
是方程
的两个根，
则m的值为。
★1、已知方程
的一根是2，则k为，另一根是。
★2、已知关于x的方程
的一个解与方程
的解相同。
⑴求k的值；
⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程
的一个根，则代数式
。
★★4、已知
是
的根，则
★★5、方程
的一个根为（）
B1C
D
★★★6、若
考点三、解法
⑴方法：
①直接开方法；
②因式分解法；
③配方法；
④公式法
⑵关键点：
降次
类型一、直接开方法：
※※对于
，
等形式均适用直接开方法
例1、解方程：
=0;
例2、若
，则x的值为。
下列方程无解的是（）
A.
B.
C.
D.
类型二、因式分解法:
※方程特点：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：
如
，
例1、
的根为（）
，则4x+y的值为。
变式1：
变式2：
若
，则x+y的值为。
变式3：
例3、方程
的解为（）
例4、解方程：
例5、已知
则
已知
且
★1、下列说法中：
①方程
的二根为
，则
②
.
③
④
⑤方程
可变形为
正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
★2、以
与
为根的一元二次方程是（）
A．
B．
C．
D．
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x、y满足
，则x+y的值为（）
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
5、方程：
的解是。
★★★6、已知
，且
，求
的值。
★★★7、方程
的较大根为r，方程
的较小根为s，则s-r的值为。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；
但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
例1、试用配方法说明
的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式
的最小值。
例3、已知
为实数，求
例4、分解因式：
★★1、试用配方法说明
的值恒小于0。
★★2、已知
.
★★★3、若
，则t的最大值为，最小值为。
★★★4、如果
那么
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
例2、在实数范围内分解因式：
（1）
；
（2）
.⑶
说明：
①对于二次三项式
的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式，这种方法首先令
=0，求出两根，再写成
=
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、“降次思想”的应用
⑴求代数式的值；
⑵解二元二次方程组。
例1、已知
，求代数式
例2、如果
，那么代数式
是一元二次方程
的一根，求
例4、用两种不同的方法解方程组
解二元二次方程组的具体思维方法有两种：
①先消元，再降次；
②先降次，再
消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已
知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
例1、若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
有实数根，则m的取值范围是（）
例3、已知关于x的方程
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰
ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求
ABC的周长。
例4、已知二次三项式
是一个完全平方式，试求
的值.
例5、
为何值时，方程组
有两个不同的实数解？
有两个相同的实数解？
★1、当k时，关于x的二次三项式
是完全平方式。
★2、当
取何值时，多项式
是一个完全平方式？
这个完全平方式是什么？
★3、已知方程
有两个不相等的实数根，则m的值是.
★★4、
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
★★★5、当
取何值时，方程
的根与
均为有理数？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为,
⑵只有一个根，则m为。
例4、不解方程，判断关于x的方程
根的情况。
例3、如果关于x的方程
及方程
均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？
若有，请求出这相同的根及k的值；
若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；
⑵“复利率”问题；
⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；
⑸“图表”类问题
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少
，第三年比第二年减少
，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利
，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？
（结果精确到0.1，
）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；
若不
能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：
对于
而言，当满足①
、②
时，
才能用韦达定理。
⑵主要内容：
⑶应用：
整体代入求值。
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程
的两根，则这个直角三
角形的斜边是（）
A.
B.3C.6D.
例2、已知关于x的方程
有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出k的值；
存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道
原来的方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
的两个根，那么
1、解方程组
2．已知
3、已知
的两实数根，求
课后记
本节课教学计划完成情况：
照常完成□提前完成□延后完成□_____________________________
学生的接受程度：
完全能接受□部分能接受□不能接受□________________________________
学生的课堂表现：
很积极□比较积极□一般□不积极□________________________________
学生上次作业完成情况：
数量____%完成质量____分存在问题______________________________
配合需求：
家长___________________________________________________________________________
学管师_________________________________________________________________________
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