江苏省镇江市届高三高考适应性测试数学卷5.docx
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江苏省镇江市届高三高考适应性测试数学卷5
江苏省镇江市2019届高三高考适应性测试数学卷5
一.填空题(每题5分,共70分)
1.复数
的虚部是
2.如
则实数
的值等于
3.若函数
,则
4.等比数列
中,
表示前
顶和,
,则公比
为
5.在集合
中先后随机地取两个数,若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数,则“个位数与十位数不相同”的概率是.
6.设
为互不重合的平面,m,n为互不重合的直线,给出下列四个命题:
①若
;②若
∥
∥
,则
∥
;
③若
;④若
,
其中所有正确命题的序号是.
7.已知
,则
的最小值为
8..已知定义域为R的函数
在区间
上为减函数,且函数
为偶函数,则给出如下四个判断:
正确的有
①
②
③
④
9.已知角A、B、C是
的内角,
分别是其对边长,向量
,
,
,且
则
10.直线
通过点
则
的取值范围为
11.已知
,且
在区间
有最小值,无最大值,则
__________.
12.在区间
上满足不等式
的解有且只有一个,则实数
13.在△
中,
,H在BC边上,则过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为
14.已知数列
满足:
(
为正整数),
,若
,则
所有可能的取值为
二.解答题(请给出完整的推理和运算过程,否则不得分)
15.(14分)设函数
的最大值为
,最小值为
,
其中
.
(1)求
、
的值(用
表示);
(2)已知角
的顶点与平面直角坐标系
中的原点
重合,始边与
轴的正半轴重合,终边经过点
.求
的值.
16.(14分)在直角梯形PBCD中,
,A为PD的中点,如下左图。
将
沿AB折到
的位置,使
,点E在SD上,且
,
分别是线段
的中点,如右图.
(1)求证:
平面ABCD;
(2)求证:
平面
∥平面
.
17.(14分)如图,在一条笔直的高速公路
的同旁有两个城镇
,它们与
的距离分别是
与
,
在
上的射影
之间距离为
,现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接,若普通公路造价为
万元/
;而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为
万元.设计部门提交了以下三种修路方案:
方案①:
两城镇各修一条普通公路到高速公路,并各修一个立交出入口;
方案②:
两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点
,并
在
点修一个公共立交出入口;
方案③:
从
修一条普通公路到
,再从
修一条普通公路到
高速公路,也只修一个立交出入口.
请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案.
18.(16分)已知椭圆
和圆
:
,过椭圆上一点
引圆
的两条切线,切点分别为
.
(1)(ⅰ)若圆
过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率
的值;
(ⅱ)若椭圆上存在点
,使得
,求椭圆离心率
的取值范围;
(2)设直线
与
轴、
轴分别交于点
,问当点P在椭圆上运动时,
是否为定值?
请证明你的结论.
19.(16分)对于数列
,定义数列
为
的“差数列”.
(I)若
的“差数列”是一个公差不为零的等差数列,试写出
的一个通项公式;
(II)若
的“差数列”的通项为
,求数列
的前n项和
;
(III)对于(II)中的数列
,若数列
满足
且
,求:
①数列
的通项公式;②当数列
前n项的积最大时n的值.
20.(16分)已知函数
的图像在[a,b]上连续不断,定义:
,
,其中
表示函数
在D上的最小值,
表示函数
在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得
对任意的
成立,则称函数
为
上的“k阶收缩函数”
(1)若
,试写出
,
的表达式;
(2)已知函数
试判断
是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,
如果是,求出对应的k,如果不是,请说明理由;
(3)已知
,函数
是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围
附加题
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
21.(选修4—2:
矩阵与变换)
已知矩阵A=
,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
,属于特征值1的一个特征向量为α2=
.求矩阵A,并写出A的逆矩阵.
22.(选修4—4:
坐标系与参数方程)
已知曲线
的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为
(为参数),求直线被曲线
截得的线段长度.
23.某中学选派
名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队”),他们参加活动的次数统计如表所示.
(Ⅰ)从“青志队”中任意选
名学生,求这
名同学中至少有
名同学参加活动次数恰好相等的概率;
(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生,用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列及数学期望
.
活动次数
参加人数
24.用
四个不同字母组成一个含
个字母的字符串,要求由
开始,相邻两个字母不同.例如
时,排出的字符串是
;
时排出的字符串是
,……,如图所示.记这含
个字母的所有字符串中,排在最后一个的字母仍是
的字符串的种数为
.
(1)试用数学归纳法证明:
;
(2)现从
四个字母组成的含
个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串,字符串最后一个的字母恰好是
的概率为
,求证:
.
参考答案
一.填空题(每题5分,共70分)
1.
2.-13.34.35.
6.①③7.
8..④9.
10.
11.
12.
13.
14.56和9
二.解答题(请给出完整的推理和运算过程,否则不得分)
15.解(1)由题可得
而
......3分
所以,
.................6分
(2)角
终边经过点
,则
..........10分
所以,
........14分
16.(14分)
(1)证明:
由题意可知,
为正方形,
所以在图中,
,
四边形ABCD是边长为2的正方形,
因为
,AB
BC,
所以BC
平面SAB,………………………………3分
又
平面SAB,所以BC
SA,又SA
AB,
所以SA
平面ABCD,………………………………6分
(2)证明:
连接BD,设
,连接
,
正方形
中,因为
分别是线段
的中点,所以
,
且
,……………………9分
又
,所以:
,所以
所以平面
平面
。
……………………………12分
17.(14分)解:
方案①:
共修
普通公路和两个立交出入口,
所需资金为
万元;
方案②:
取
关于
的对称点
,连
与
交于
,
在
修一个出入口,则路程最短,共需资金:
万元;
方案③:
连接
沿
修路,在
修一个出入口,共需资金:
万元
由于
,比较大小有
,(12分)故选择方案(3).
18.(16分)解:
(1)(ⅰ)∵圆
过椭圆的焦点,圆
:
,∴
,
∴
,
,∴
.
(ⅱ)由
及圆的性质,可得
,∴
∴
∴
,
.
(2)设0
,则
整理得
∴
方程为:
,
方程为:
.
从而直线AB的方程为:
.令
,得
,令
,得
,∴
,∴
为定值,定值是
.
19.(16分)
(1)解:
如
(答案不惟一,结果应为
的形式,其中
)
(2)解:
依题意
所以
从面
是公比数为2的等比数列,所以
(3)①解:
由
,两式相除得
所以数列
分别是公比为
的等比数列由
令
所以数列
的通项为
②记数列
前n项的积为Tn.
令
即
所以当n是奇数时,
从而
当n是偶数时,
从而
注意到
所以当数列
前n项的积Tn最大时
20.解:
(1)由题意可得:
,
。
(2)
,
,
当
时,
当
时,
当
时,
综上所述,
。
即存在
,使得
是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
(3)
,令
得
或
。
函数
的变化情况如下:
x
0
2
-
0
+
0
-
0
4
令
得
或
。
(i)当
时,
在
上单调递增,因此,
,
。
因为
是
上的“二阶收缩函数”,所以,
①
对
恒成立;
②存在
,使得
成立。
①即:
对
恒成立,由
解得
或
。
要使
对
恒成立,需且只需
。
②即:
存在
,使得
成立。
由
解得
或
。
所以,只需
。
综合①②可得
。
(ii)当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,因此,
,
,
,显然当
时,
不成立。
(iii)当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,因此,
,
,
,显然当
时,
不成立。
综合(i)(ii)(iii)可得:
。
附加题
21.解:
由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
可得,
=6
,
即c+d=6;………………………………………3分
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
,可得
=
,
即3c-2d=-2,…………………………………………6分
解得
即A=
,…………………………8分
A逆矩阵是
22.解:
将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程为
,
即
,它表示以
为圆心,2为半径的圆,…………………………4分
直线方程的普通方程为
,………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离
,…………………………………………………8分
故直线被曲线
截得的线段长度为
.…………………10分
23、(Ⅰ)这
名同学中至少有
名同学参加活动次数恰好相等的概率为
…………………………………………4分
…………………………………………5分
(Ⅱ)由题意知
……………………………………6分
……………………………………7分
……………………………………8分
的分布列:
0
1
2
…………………………………………10分
的数学期望:
…………12分
24.解
(1):
证明:
(ⅰ)当
时,因为
,
,所以等式正确.
(ⅱ)假设
时,等式正确,即
,
那么,
时,因为
,
这说明
时等式仍正确.
据(ⅰ),(ⅱ)可知,
正确.
(2)易知
,
①当
为奇数(
)时,
,因为
,所以
,又
,所以
;
②当
为偶数(
)时,
,因为
,所以
,又
,所以
.综上所述,
.