学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学理试题Word文档下载推荐.docx
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A.B.C.D.
6.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )
A.B.C.D.
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=(x+1)ex则对任意的m∈R,函数F(x)=f(f(x))﹣m的零点个数至多有( )
A.3个B.4个C.6个D.9个
8.定积分=()
A.10﹣ln3B.8﹣ln3C.D.
9.对任意的,总有,则的取值范围是()
10.由曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为()
A.B.4C.D.6
11.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证当n=1时,等式左边应为().
A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3
12.用反证法证明“若a+b+c<3,则a,b,c中至少有一个小于1”时,“假设”应为()
A.假设a,b,c至少有一个大于1B.假设a,b,c都大于1
C.假设a,b,c至少有两个大于1D.假设a,b,c都不小于1
第II卷(非选择题90分)
二、填空题(本题有4小题,每小题5分,共20分。
13.观察下列数表:
1
35
791113
1517192123252729
设2017是该表第行的第个数,则的值为__________.
14.已知复数,则|z|=
.
15.若函数f(x)=xsinx+cosx,则f′=________.
16.已知函数下列四个命题:
①f(f
(1))>
f(3);
②x0∈(1,+∞),f'
(x0)=-1/3;
③f(x)的极大值点为x=1;
④x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1
其中正确的有
(写出所有正确命题的序号)
三、解答题(本题有6小题,共70分。
17.(6分)设复数,若,求实数的值。
18.(14分)已知函数()
(1)求函数的单调增区间;
(2)若函数在上的最小值为,求的值.
19.(14分)在数列中,,当时,成等比数列。
(1)求,并推出的表达式;
(2)用数学归纳法证明所得结论.
20.(12分)设.
(1)求的单调区间;
(2)求函数在上的最值.
21.(12分)
(1)当时,试用分析法证明:
;
(2)已知,.求证:
中至少有一个不小于0.
22.(12分)现有一张长为,宽为()的长方形铁皮,准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,在长方形的一个角上剪下一块边长为的正方形铁皮,作为铁皮容器的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面,设长方体的高为,体积为.
(Ⅰ)求关于的函数关系式;
(Ⅱ)求该铁皮容器体积的最大值.
参考答案
1.B
【解析】
由于,所以的共轭复数为,故答案为:
B.
把分母实数化乘以分母的共轭复数整理即可得到该复数的共轭复数。
2.C
【解析】复数,
在复平面内对应的点在第四象限,则,
解得.
实数a的取值范围是(−1,4).
故答案为:
C.
3.
【解析】===2,
A.
4.B
【解析】:
∵z=﹣2+i,
∴,
则复数的模,
故选:
B.
5.C
【解析】,选C.
6.B
设g(x)=ln(x+1)-x,
则g′(x)=
∴g(x)在(﹣1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数
∴g(x)<g(0)=0
∴f(x)=<0
得:
x>0或﹣1<x<0均有f(x)<0排除A,C,
又f(x)=中,,能排除D.
B
7.A
【解析】当x<0时,f(x)=(x+1)ex,可得f′(x)=(x+2)ex,可知x∈(﹣∞,﹣2),函数是减函数,x∈(﹣2,0)函数是增函数,
f(﹣2)=,f(﹣1)=0,且x→0时,f(x)→1,又f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,而x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)<0,
所以函数的图象如图:
令t=f(x)则f(t)=m,
由图象可知:
当t∈(﹣1,1)时,方程f(x)=t至多3个根,当t∉(﹣1,1)时,方程没有实数根,
而对于任意m∈R,方程f(t)=m至多有一个根,t∈(﹣1,1),
从而函数F(x)=f(f(x))﹣m的零点个数至多有3个.
A.
当x<0时,f(x)=(x+1)ex,可得f′(x)=(x+2)ex可知x∈(﹣∞,﹣2),函数是减函数,x∈(﹣2,0)函数是增函数,并且f(﹣2)=−,f(﹣1)=0,且x→0时,f(x)→1,根据f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,根据分析结果,作出f(x)的大致图象,数形结合不难得出零点最多为3个.
8.B
【解析】==8﹣ln3,
9.A
【解析】原问题即在区间上恒成立,考查临界情况,即函数与相切时的情形,
很明显切点横坐标位于区间内,此时,,
由可得:
,
则切点坐标为:
切线方程为:
令可得纵截距为:
结合如图所示的函数图象可得则的取值范围是.
10.C
【解析】联立方程得到两曲线的交点(4,2),
因此曲线y=,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为:
S=.故答案为:
C.
11.C
【解析】本题难度适中,直接代入,当时,左边,故选C.
12.D
【解析】由于命题:
“若a,b,c中至少有一个小于1”的反面是:
“a,b,c都不小于1”,
故用反证法证明“若a+b+c<3,则a,b,c中至少有一个小于1”时,“假设”应为“a,b,c都不小于1”,
故选D.
13.
【解析】根据数表的数的排列规律,都是连续奇数第一行,有个数,第二行,有个数,且第一个数是;
第三行,有个数,且第一个数是;
第四行,有个数,且第一个数是,第行,有个数,且第一个数是,,在第行,,是第行的第个数,,故答案为.
14.
【解析】复数==﹣i﹣1,
则|z|==.
.
15.
【解析】∵f(x)=xsinx+cosx,
∴f′(x)=(xsinx+cosx)′=(xsinx)′+(cosx)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
∴f′==cos=0.
答案:
16.①②③④
函数的图形如图所示,对于①,,①正确;
对于②,时,,故②正确;
对于③,根据图形可判断③正确;
对于④,时,,故④正确.
①②③④.
17.a=-3,b=4.
18.
(1)由题意,的定义域为,且.
当时,,∴的单调增区间为.
当时,令,得,∴的单调增区间为.
(2)解:
由
(1)可知,.
若,则,即在上恒成立,在上为增函数,
∴,∴(舍去).
若,则,即在上恒成立,在上为减函数,
若,当时,,∴在上为减函数,
当时,,所以上为增函数,
∴,∴
综上所述,.
19.
(1);
(2)见解析.
(1)成等比数列,①
由代入①得
同理可得,由此推出:
.
(2)证明:
当时,由
(1)知成立,
(2)假设时,命题成立,即,
,(舍)
也就是说,当时,命题也成立
根据
(1)
(2)对于任意,.
20.
(1)函数的单调增区间是,单调递减区间是
(2)最大值是,最小值是
(1)因为依题意得,
定义域是,然后求解,结合二次不等式得到单调区间。
(2)在第一问的基础上可知知道极值,然后比较机制和端点值的大小得到结论。
解:
依题意得,
…………2分
定义域是…………3分
(1)…………5分
令,得或,
令,得…………7分
由于定义域是,
函数的单调增区间是,单调递减区间是…………8分
(2)令,得,…………9分
由于,,,…………11分
在上的最大值是,最小值是…………14分
21.
(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)要证
即证
只要证
即证
而上式显然成立
所以成立
(2)假设且
由得
由得,
这与矛盾
所以假设错误
所以中至少有一个不小于0
22.(Ⅰ)().(Ⅱ)
((Ⅰ)由题意得,
即().
(Ⅱ)铁皮容器体积().
当时,即,在上,恒成立,函数单调递增,
此时;
当,即,在上,,函数单调递增,在上,,函数单调递减,此时.
所以