《中小学数学解题研究》练习题一参考答案.docx

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《中小学数学解题研究》练习题一参考答案

《中小学数学解题研究》练习题一参考答案

一、回答下列各问题

1．什么是配方法？

配方法的基本特征是什么？

答：

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

配方的基本特征是：

特征1：

配方目标的确定性：

就是说配方有一个明确而具体的思维指向——出现平方式。

这就使得具体配方时，能够排除干扰、瞄准目标、集中思想、一攻到底。

特征2：

配方途径的多向性：

就是说，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式。

特征3：

配方对象的多样性：

数、字母、具体的数学式、抽象的函数关系等都可以进行配方。

特征4：

配方使用的多重性：

配方可以并列地多次使用，也可以连续地重复使用。

特征5：

配方应用的广泛性：

无论是初等数学还是高等数学，无论是代数还是几何，无论是相等关系还是不等关系，无论是求值还是证明，无论是连续问题还是离散问题，无论是简单的整数还是抽象的解析式，都能用到配方，都已成为配方法知识链上的一环。

2．什么是“数学问题”？

数学问题与习题的联系与区别是什么？

答：

对于学生来说；数学问题是运用已有的数学概念、理论或方法，经过积极的探索、思考才能解决的问题。

而这样的问题应满足下述三个特性:

（1）接受性：

学生愿意解决并且具有解决它的知识基础和能力基础。

（2）障碍性：

学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决。

（3）探究性：

学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探究和研究，寻找新的处理方法。

数学“问题”与“习题”的区别与联系

中学数学教材中的习题一般是条件充分、结论确定、解法典型、供巩固知识的练习用。

这些习题是为数学教学和日常训练等设计的，适合于学习知识、训练技能。

而“问题”不仅包括教科书上的习题，也应包括那些来自实际的问题；不仅应包括“单纯练习题式的问题（routineproblems）”，也应包括“非单纯练习题式的问题（non-routineproblems）”；不仅应包括条件充分、结论确定的问题，也应包括条件不充分、结论不确定的开放性问题和具有探索性的问题。

“问题”适合于学习发现和探究的技巧，适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。

因此，“问题”比“习题”的外延宽、所要达到的学习目的多。

虽然习题与“问题”有一定的区别，但并不否认习题在数学教学中的作用。

为了使学生理解数学概念、定理、法则，全面系统地掌握数学知识，提高解题的技能、技巧，习题有着不可取代的作用。

3．什么是换元法？

用换元法解题的一般步骤是什么？

答：

在解决某些数学问题时，根据问题的特征或关系引进适当的新的辅助元来替换原问题中的数、字母、式子等，从而使原问题变得更简单易解，这种通过用变量替换来解决问题的方法就叫换元法。

用换元法解题的一般步骤是：

①设新元，即根据问题的特点或关系，引进适当的辅助元作为新元；②换元，用新元去代替原问题中代数式或旧元；③求解新元；④将解出的新元代回所设的换元式，求解原问题的未知元。

4．什么是数学问题解决？

数学问题解决与数学解题的联系与区别是什么？

答：

对于学生来说，“问题解决”是指综合地、创造性运用各种数学知识和方法去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。

“问题解决”是指综合地、创造性运用各种数学知识和方法去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。

在进行问题解决时，学生必须综合所学得的知识，并把它用到新的、困难的状况中去，这就需要学生使用恰当的方法和策略，需要探索和猜想。

解题就是“解决问题”，即求出问题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题也就是求出题的解。

因此，“问题解决”比传统意义上的“解题”有了很大的发展。

传统意义的“解题”只注重结果、注重答案，而现代意义的“问题解决”更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法。

“问题解决”的过程是发现的过程，探索的过程，创新的过程；问题解决能力发展的基础是虚心，是好奇和探究的态度，是进行试验和猜测的意向。

5、什么是枚举法？

用枚举法解题的一般思路是什么？

答：

所谓枚举法，指的是从可能的解集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是无用的，哪些是有用的，能使命题成立，即为其解。

一般思路：

①对命题建立正确的数学模型；②根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；③利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明；

枚举法的特点：

算法简单，有时运算量大。

对于可能确定解的值域又一时找不到其他更好的算法时可以采用枚举法。

6、举例说明影响问题解决的因素有那些？

答：

舍菲尔德通过长期的实验研究和个案分析，认为在众多影响数学问题解决的因素中的主要因素为：

认识的资源、探索方法、调节和观念系统。

（1）认识的资源：

即解决问题时个体所拥有的数学知识、已掌握的事实和算法。

（2）探索方法：

即处理非熟悉或者非常规问题的策略与技术，包括画出图形、引进适当的符号、探索相关的问题、重新表述问题、进一步考虑、试验与确定程序等。

（3）调控：

调控是指对于所从事的解题活动的自我意识、自我分析和自我调整，有人也称为元认知。

包括解题者运用已有知识的效率；认识资源和解题策略的选择；对整个解题过程的调节、监控与评价。

（4）观念系统：

既解题者对数学本质及如何思考的总体看法，包括解题者关于数学；关于自己；关于环境；关于课题等的认识，也可以说是一个人的“数学世界观”。

7、举例说明在数学教学中“好问题”应具有哪些特点？

答：

（1）一个“好”的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造性。

（2）具有一定的现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力。

（3）具有多种不同的解法或多种可能的解答，即开放性。

（4）具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各种情形。

（5）具有一定的启示意义，蕴涵重要的数学思想方法。

8、简述波利亚的数学解题四个步骤及波利亚解题思想的本质。

答：

波利亚认为数学解题应分为四个步骤：

①理解问题、②拟订计划、③实现计划、④回顾与检验。

波利亚解题思想的本质是可归结为4个要点：

程序化的具体系统、启发式的过程分析、开放型的念头诱发、探索性的问题转换。

9、数学习题有哪些功能？

答：

（1）知识功能：

通过数学习题，使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能、技巧，这是数学习题的知识功能。

①通过数学习题引入新知识

②通过数学习题巩固知识

③通过数学习题运用知识

（2）教育功能：

通过数学教育对学生智力和非智力因素的培养

①培养学生的数学观念及良好的数感，形成学生科学的思维方式和合理的思维习惯，激发学生强烈的应用意识及创造能力，以及运用数学语言进行人际交流的能力。

②数学课程对形成学生的性格和道德个性方面有巨大作用。

③数学习题的教育功能还在于它能给学生美的陶冶，

④通过数学习题中的辩证思想，数学习题反映着客观现实的各种现象，可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育；

（3）评价功能：

学业成绩的检查与评定是整个教学过程的有机部分。

二、用两种方法求解下面问题

1、若，求证

解：

方法1如下图所示,设ABCD是单位正方形,

DC

PM

ANB

在,

而且当时等号成立.

所以，不等式成立。

方法2代数法，两边平方（略）。

2、若均为实数，求证

方法一：

不妨设点

0

如图，在

而

所以，不等式成立。

方法二：

设

则

又因为，对于任意复数

所以，不等式成立。

三、试按波利亚的解题四步骤来分析求解下题：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，P为△ABC内切圆上的动点。

求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。

解：

第一步理解题意

本题的条件是（ⅰ）c=10，（ⅱ）cosA/cosB=b/a=4/3；（ⅲ）P是三角形△ABC内切圆上的动点，所求的结论是要求出P点到A、B、C三顶点的距离的平方和的最值。

综观之，这是一道关于图形的最值问题。

第二步拟订计划

设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与密切相关的两类问题：

第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。

第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距

离和或平方和的最小值。

于是原问题可分裂为两个较为简单的问题：

1a、b、c为△ABC的三边，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，试确定△ABC的形

状及其大小。

2在确定的△ABC的内切圆上有一动点P，试求PA²+PB²+PC²的最小值与最大

值。

对①小题，△ABC已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来。

对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。

至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。

第三步实现计划

由cosA/cosB=b/a，用正弦定理作代换，得cosA/cosB=sinB/sinA，

即sinA·cosA=sinB·cosB或sin2B=sin2A

因为cosA/cosB=4/3，知A≠B，且A、B是三角形内角，

所以2A=π-2B，即B+A=π/2

所以△ABC是直角三角形。

再由c=10，b/a=4/3及a²+b²=c²，可解得a=6，b=8。

如图1—2，建立直角坐标系，使直角△ABC的三个顶点

为A（8，0）、B（0，6）、C（0、0）y

在直角△ABC中，有a+b=c+2r，r=2，B

所以，内切圆的圆心为Oˊ（2，2），

方程为（x-2）²+（y-2）²=4。

MNP

设圆上的任一点为P（x，y），则有

S=|PA|²+|PB|²+|PC|²OA

=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y²图2—1

=3{（x-2）²+（y-2）²}-4x+76

=3·4-4x+76=88-4x

因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当X=4时，有最小值72，当x=4时，有最大值88。

第四步回顾讨论

对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：

x=0时，P点运动到BC边上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72。

此外，能否用别的方法来导出结果呢？

对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法（略）

四、编制一道你认为“好”的数学题并求解

答略

五、试分析下列数学题作为封闭性数学习题，是否满足数学习题的科学性标准？

满足，请说明理由；不满足，请修改成正确的数学题，并求解。

（1）用油漆涂100个圆柱形水桶，桶口的直径为35cm，高为27.5cm，已知每平方米需要油漆150g，共需油漆多少？

答：

本题有两处叙述不清楚

（1）水桶有没有盖？

（2）是只有外面涂油漆，还是内外两面涂油漆？

纠正的办法是在已知条件中阐明上述两条。

（2）甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地。

甲先行2公里，则又经过2个小时后在AB的中点处与乙相遇；若同时出发，则相遇后甲再走小时到达B地，乙再走小时到达A地。

问甲、乙二人的速度各是多少

解：

设甲的速度为x公里/小时。

乙的速度为y公里/小时，依题意得：

………………

（1）

…………

（2）

………（3）

这样，两个未知数X、Y要满足3个方程，由①