数学安徽省滁州市定远县藕塘中学学年高二月考理解析版Word文件下载.docx
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A.0B.37C.100D.﹣37
8.若函数f(x)的导数为f'
(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为
A.90°
B.0°
C.锐角D.钝角
9.若正实数满足,则的最小值是()
A.12B.6C.16D.8
10.在中,,,,则()
A.或B.
C.D.以上答案都不对
11.已知数列{an}满足a1=a2=,an+1=2an+an﹣1(n∈N*,n≥2),则的整数部分是(
A.0B.1C.2D.3
12.有5道题中,有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为( )
第II卷(非选择题90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
13.观察下列各式:
……
照此规律,当nN时,
.
14.设实数满足,则的最小值
为.
15.若等比数列{n}满足:
,,则
的值是______
16.已知曲线在处的切线经过点,则______.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分。
17.(10分)已知函数f(x)=x(x+a)﹣lnx,其中a为常数.
(1)当a=﹣1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)是区间内的单调函数,求实数a的取值范围.
18.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知(a﹣3b)cosC=c(3cosB﹣cosA).
(1)求的值;
(2)若c=a,求角C的大小.
19.(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=24,a6=18.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;
(Ⅲ)当n为何值时,Sn最大,并求Sn的最大值.
20.(12分)在如图所示的四边形ABCD中,∠BAD=90°
,∠BCD=120°
,∠BAC=60°
,AC=2,记∠ABC=θ.
(Ⅰ)求用含θ的代数式表示DC;
(Ⅱ)求△BCD面积S的最小值.
21.(12分)解答下面两个问题:
(Ⅰ)已知复数,其共轭复数为,求;
(Ⅱ)复数z1=2a+1+(1+a2)i,z2=1﹣a+(3﹣a)i,a∈R,若是实数,求a的值.
22.(12分)某生产旅游纪念品的工厂,拟在2017年度进行系列促销活动,经市场调查和测算,该纪念品的年销售量(单位:
万件)与年促销费用(单位:
万元)之间满足于成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知加工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元,没生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)
(Ⅰ)请把该工厂2017年的年利润(单位:
万元)表示成促销费(单位:
万元)的函数;
(Ⅱ)试问:
当2017年的促销费投入多少万元时,该工程的年利润最大?
参考答案
1.D
【解析】由题;
,则;
则对应的点在第四象限。
2.C
【解析】由指数函数、对数函数的性质以及不等式的性质知,
若,则;
;
,故选C.
3.A
【解析】根据题意,变量x和y满足条件,则可知不等式表示为无界区域,那么目标函数z=x-y,过直线的交点(2,1)时,取得最小值,故答案为A.
4.C
【解析】等差数列中,由,可知公差,所以,即.反过来,由,可知公差,所以,即.等差数列{an}中,“a1<a3”是“an<an+1”的充分必要条件.选C.
5.D
【解析】由y=sinx(x∈[0,])和y=cosx(x∈[0,]),可得交点坐标为(,),(,),
∴由两曲线y=sinx(x∈[0,])和y=cosx(x∈[0,])所围成的封闭图形的面积为
S=(cosx﹣sinx)dx+(sinx﹣cosx)dx+(cosx﹣sinx)dx
=(sinx+cosx)|﹣(sinx+cosx)|+(sinx+cosx)|=2.
故选:
D.
求出图象的交点坐标,根据定积分的几何意义,所求面积为S=(cosx﹣sinx)dx+(sinx﹣cosx)dx+(cosx﹣sinx)dx,再用定积分计算公式加以
6.D
【解析】∵f(x)=,
∴f′(x)=,
当x∈(,]时,可判断xcosx﹣sinx是减函数,
故xcosx﹣sinx<•﹣<0,
当x∈(,)时,xcosx﹣sinx<0;
故f(x)=在(,)上是减函数,
而由<a<b<知a<<<b,
故f(a)>f()>f(),
f(b)<f()<f();
故选D.
由导数可判断f(x)=在(,)上是减函数,再由基本不等式可判断出<,从而由函数的单调性比较函数值的大小即可。
7.C
【解析】∵数列{an}、{bn}都是等差数列,
∴数列{an+bn}也是等差数列,
∵a1+b1=25+75=100,a2+b2=100,
∴数列{an+bn}的公差为0,数列为常数列,
∴a37+b37=100
C.
8.C
【解析】因为,所以在点的切线斜率为,所以倾斜角为锐角.故选C.
在点P处的切线斜率就是函数在该点的导数值。
9.D
【解析】由化简得,.
10.C
【解析】10.由正弦定理得,得,结合得,故选C.
11.B
【解析】∵an+1=2an+an﹣1,∴2an=an+1﹣an﹣1,即,(n∈N*,n≥2),
又a1=a2=,
∴(i∈N*,i≥2),
∴=
==<2.
∵a1=a2=,且an+1=2an+an﹣1,
∴a2016>1,a2017>1,则,
∴1<<2.
∴的整数部分是1.
B.
12.B
【解析】因为5道题中有3道理科题和2道文科题,
所以第一次抽到理科题的前提下,第2次抽到理科题的概率为P==.
13.
【解析】因为第一个等式右端为:
第二个等式右端为:
;
第三个等式右端为:
·
由归纳推理得:
第n个等式为:
所以答案应填:
14.
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图:
根据图形得:
当直线经过点时取得最大值,
由解得:
,∴.
15.4
【解析】设数列的公比为,则,①,
,②①②得,
,故答案为.
16.
【解析】由,得,
根据题意得,
∴,
∴.
答案:
17.
(1)解:
当a=﹣1时,
所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增
于是f(x)有极小值f
(1)=0,无极大值
(2)解:
易知在区间内单调递增,
所以由题意可得在内无解
即或f′
(1)≤0
解得实数a的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
【解析】
(1)求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(2)求出函数的导数,得到或f′
(1)≤0,解出即可.
18.
(1)解:
∵(a﹣3b)cosC=c(3cosB﹣cosA),
∴sinAcosC﹣3sinBcosC=3cosBsinC﹣cosAsinC,
即sinAcosC+cosAsinC=3cosBsinC+3sinBcosC,
∴sin(A+C)=3sin(B+C),即sinB=3sinA,
∴=3.
∵=3,∴b=3a.
∴cosC===.
∴C=.
(1)利用正弦定理将边化角整理化简条件式子,得出sinA和sinB的关系;
(2)用a表示b,c,使用余弦定理求出cosC.
19.(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ)时,的最大值为
.
(Ⅰ)设等差数列的公差是d,利用等差数列的性质即可解得,再根据等差数列的性质代入通项公式即可求得其通项;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,代入等差数列的前n项和公式即可求得结果;
(Ⅲ)将等差数列的前n项和进行配方,得到其图像的对称轴,从而得到当时,的最大值为.
(Ⅰ)设等差数列的公差是d,
因为a3=24,a6=18,所以d==﹣2,
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,a1=28,
所以
(Ⅲ)因为,所以对称轴是,
则时,最大,
所以的最大值为
20.解:
(Ⅰ)在△ADC中,∠ADC=360°
﹣90°
﹣120°
﹣θ=150°
﹣θ,
由正弦定理可得=,即=,
于是:
DC=.
(Ⅱ)在△ABC中,由正弦定理得=,即BC=,
由(Ⅰ)知:
DC=,
∴S====
.
故θ=75°
时,S取得最小值6﹣3
(I)在△ADC中,使用正弦定理解出DC;
(II)在△ABC中,使用正弦定理解出BC,代入三角形的面积公式计算.
21.解:
(Ⅰ)∵,∴.
∴.
,
∴=;
(Ⅱ)
∵是实数,∴a2+a﹣2=0,解得a=1,或a=﹣2,
故a=1,或a=﹣2.
(Ⅰ)由复数,求出和,代入计算得答案;
(Ⅱ)把z1,代入化简,再结合已知条件即可求出a的值.
22.解:
(Ⅰ)设反比例系数为().由题意有.
又时,,所以,,
则与的关系是(),
依据题意,可知工厂生产万件纪念品的生产成本为万元,促销费用为万元,则每件纪念品的定价为元/件,
于是,进一步化简,得().
因此工厂2017年的利润为().
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,(),
当且仅当,即时取等号,
所以当2017年的促销费用投入7万元时,工厂的年利润最大,最大利润为42万元.
【解析】
(1)根据反比例函数的定义结合同意代入数值求出k的值,进而通过x表示出年利润y的代数式,对其化简整理即可得到函数式。
(2)根据题意利用基本不等式求出最值即可。