高中数学必修5练习题含答案附立体几何题Word格式文档下载.docx
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7.设满足约束条件,则的最大值为()
A.5B.3C.7D.-8
8.在中,,则此三角形解的情况是()
A.一解B.两解C.一解或两解D.无解
9.在△ABC中,如果,那么cosC等于()
10.一个等比数列的前n项和为48,前2n项和为60,则前3n项和为()
A、63B、108C、75D、83
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.在中,,那么A=_____________;
12.已知等差数列的前三项为,则此数列的通项公式为________.
13.不等式的解集是 .
14.已知数列{an}的前n项和,那么它的通项公式为an=_________
三、解答题(共44分)
15.(8分)已知等比数列中,,求其第4项及前5项和.
16.(8分)
(1)求不等式的解集:
(2)求函数的定义域:
17.(8分)若不等式的解集是,
(1)求的值;
(2)求不等式的解集.
18.(10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根,且。
求:
(1)角C的度数;
(2)AB的长度。
19.(10分)如图,货轮在海上以35nmile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为.求此时货轮与灯塔之间的距离.
20.(10分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元。
该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。
(1)求;
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
答案
BCDBCACBDA11.或12.=2n-313.14.=2n
15.解:
设公比为,由已知得
②
即
②÷
①得,将代入①得,,
16.
(1)
(2)
17.解:
(1)C=120°
(2)由题设:
18.
(1)依题意,可知方程的两个实数根为和2,由韦达定理得:
+2=
解得:
=-2
(2)
19.在△ABC中,∠B=152o-122o=30o,∠C=180o-152o+32o=60o,∠A=180o-30o-60o=90o,
BC=,∴AC=sin30o=.答:
船与灯塔间的距离为nmile.
20.解:
(1)由题意知,每年的费用是以2为首项,2为公差的等差数列,求得:
(2)设纯收入与年数n的关系为f(n),则:
由f(n)>
0得n2-20n+25<
0解得
又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利
(3)年平均收入为=20-
当且仅当n=5时,年平均收益最大.所以这种设备使用5年,该公司的年平均获利最大。
立体几何题怎么解
高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道,主观题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内.选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提.随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.
例1四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD.
(1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°
,求这个四棱锥的体积;
(2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
讲解:
(1)正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面,其面积
为从而只要算出四棱锥的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,
∴PA⊥DA,
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角,
∠PAB=60°
.
而PB是四棱锥P—ABCD的高,PB=AB·
tg60°
=a,
.
(2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP,垂足为E,连结EC,则△ADE≌△CDE,
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O,连结EO,则EO⊥AC,
在
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°
本小题主要考查线面关系和二面角的概念,以及空间想象能力和逻辑推理能力,具有一定的探索性,是一道设计新颖,特征鲜明的好题.
例2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1,C点到AB1的距离为CE=,D为AB的中点.
(1)求证:
AB1⊥平面CED;
(2)求异面直线AB1与CD之间的距离;
(3)求二面角B1—AC—B的平面角.
(1)∵D是AB中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1,∴AB1⊥平面CDE;
(2)由CD⊥平面A1B1BA∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE∴DE⊥AB1
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=,AC=1,∴CD=
∴;
(3)连结B1C,易证B1C⊥AC,又BC⊥AC,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中,CE=,BC=AC=1,
∴∠B1AC=600
∴,∴,
∴,∴.
作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提,当然,准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例3如图a—l—是120°
的二面角,A,B两点在棱上,AB=2,D在内,三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°
,C在内,ABC是等腰直角三角形∠ACB=
(I)求三棱锥D—ABC的体积;
(2)求二面角D—AC—B的大小;
(3)求异面直线AB、CD所成的角.
(1)过D向平面做垂线,垂足为O,连强OA并延长至E.
为二面角a—l—的平面角..
是等腰直角三角形,斜边AB=2.又D到平面的距离DO=
(2)过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO为二面角D—AC—B的平面角.又在△DOA中,OA=2cos60°
=1.且
(3)在平在内,过C作AB的平行线交AE于F,∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.为等腰直角三角形,又AF等于C到AB的距离,即△ABC斜边上的高,
异面直线AB,CD所成的角为arctg
比较例2与例3解法的异同,你会得出怎样的启示?
想想看.
例4
在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的,并且这三个四边形也全等,如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器,如图②.则当容器的高为多少时,可使这个容器的容积最大,并求出容积的最大值.
图①图②
设容器的高为x.则容器底面正三角形的边长为,
当且仅当.
故当容器的高为时,容器的容积最大,其最大容积为
对学过导数的同学来讲,三次函数的最值问题用导数求解是最方便的,请读者不妨一试.另外,本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关,还请做做对照.类似的问题是:
某企业设计一个容积为V的密闭容器,下部是圆柱形,上部是半球形,当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时,制造这个密闭容器的用料最省(即容器的表面积最小).
例5已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,
D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E.
AP⊥平面BDE;
(2)求证:
平面BDE⊥平面BDF;
(3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥
P—ABC所成两部分的体积比.
(1)∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD.
由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.又PA平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE.
(2)由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点,得DF//AP.
由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF.BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.
又DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF.
(3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2.则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
值得注意的是,“截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序,因而最终的比值答案一般应为两个,希不要犯这种”会而不全”的错误.
例6已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截,若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)
为p的抛物线.
(1)求圆锥的母线与底面所成的角;
(2)求圆锥的全面积.
(1)设圆锥的底面半径为R,母线长为l,
由题意得:
即,
所以母线和底面所成的角为
(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON,其中O为截面与
AC的交点,则OO1//AB且
在截面MON内,以OO1所在有向直线为y轴,O为原点,建立坐标系,则O为抛物的顶点,所以抛物线方程为x2=-2py,点N的坐标为(R,-R),代入方程得
R2=-2p(-R),得R=2p,l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为.
将立体几何与解析几何相链接,颇具新意,预示了高考命题的新动向.类似请思考如下问题:
一圆柱被一平面所截,截口是一个椭圆.已知椭圆的
长轴长为5,短轴长为4,被截后几何体的最短侧面母
线长为1,则该几何体的体积等于.
例7如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.
FD∥平面ABC;
AF⊥BD;
(3)求二面角B—FC—G的正切值.
∵F、G分别为EB、AB的中点,
∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC,FG=DC,
∴四边形FGCD为平行四边形,∴FD∥GC,又GC面ABC,
∴FD∥面ABC.
(2)∵AB=EA,且F为EB中点,∴AF⊥EB①又FG∥EA,EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC∵G为等边△ABC,AB边的中点,∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD②
由①、②知AF⊥面EBD,又BD面EBD,∴AF⊥BD.
(3)由
(1)、
(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC,垂足为H,连HB,∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求.
例8如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1)求证PQ∥平面CDD1C1;
(2)求证PQ⊥AD;